1. Производная функции
Определение производной
Рассмотрим
функцию
,
определённую на некотором интервале
Разность
называется
приращением
аргумента
в
точке
.
Разность
называется
приращением
функции
в точке
.
Если существует предел (конечный или бесконечный)
то
он называется производной
(конечной или бесконечной) функции
в точке
и обозначается
.
Для
производной функции
используются следующие обозначения:
Замечание.
Приращение
функции
в точке
часто обозначают через
.
Однако, не следует забывать, что эта
величина зависит от точки
и от приращения
.
Геометрический
смысл производной заключается в том,
что производная функции
в некоторой точке
равна угловому коэффициенту касательной
к графику функции
в точке
,
где
–
угол между касательной и положительным
направлением оси абсцисс.
Механический
смысл производной – это скорость
изменения пути
по времени
.
Пример.
Найти по определению производную
функции
.
Решение.
Зафиксируем произвольную точку
.
Так как
,
то
и
,поэтому
.
Отсюда,
,
Следовательно,
Так
как в качестве
можно взять любое число неравное нулю,
то для любого числа
получаем
.
Например,
Пример.
Найти по определению производную функцию
.
Решение.
Зафиксируем произвольную точку
.
Так как
,
то
и
,
поэтому
.
Следовательно,
,
Воспользовавшись
непрерывностью функции
и
первым замечательным пределом
,
получаем
.
Так как в качестве можно взять любое число, то для любого числа вводим
Например,
.
1.2. Производные основных элементарных функций
Приведём производные основных элементарных функций.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
,
где
;
,
где
;
,
где
;
,
где
;
Пример.
Найти производные следующих выражений:
а)
;
б)
;
в)
Решение.
Каждая из данных функций является
степенной функцией, поэтому все
производные находятся по формуле
.
Имеем:
а)
;
б)
;
с)
.
1.3. Производные суммы, разности, произведения и частного
Производные
суммы, разности, произведения и частного
двух функций
или
находятся по следующим формулам:
; 
;
,
,
с – число,
.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение.
Пример.
,
найти
Решение.
Сначала найдем производную функции
:
Итак,
.
Теперь находим значения производных
при конкретных значениях
:
Пример.
Найти производную функции
.
Решение.
Пример.
Найти производную функцию
.
Решение.
1.4. Производная сложной функции
Пусть
функция
имеет производную в некоторой точке
,
а функция
имеет производную в точке
.
Тогда, сложная функция
имеет производную в точке
,
которая вычисляется по формуле
Для краткости используется следующая запись последней формулы:
Пример.
Найти производную функции
.
Решение.
Обозначим
,
,
тогда
.
По теореме о производной сложной функции
.
Находим:
,
,
откуда
Пример.
Найти производную функции
.
Решение.
Пример.
Найти производную функции
.
Решение.
Задание 1.
Вариант 1. |
Вариант 2. |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7) |
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 3. |
Вариант 4 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2.Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 5 |
Вариант 6 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2) |
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 9 |
Вариант 10 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 11 |
Вариант 12 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2) |
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 15 |
Вариант 16 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1) |
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 17 |
Вариант 18 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2) |
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 21 |
Вариант 22 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 23 |
Вариант 24 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15) |
|
|
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 27 |
Вариант 28 |
Задание 1. Найти производные по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2. Найти производные функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
|
|
Вариант 29 |
Вариант 30 |
Задание 1. Найти производную по определению |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
Задание 2.Найти производную функций заданных явно |
|
1)
|
1)
|
2)
|
2)
|
3)
|
3)
|
4)
|
4)
|
5)
|
5)
|
6)
|
6)
|
7)
|
7)
|
8)
|
8)
|
9)
|
9)
|
10)
|
10)
|
11)
|
11)
|
12)
|
12)
|
13)
|
13)
|
14)
|
14)
|
15)
|
15)
|
