Текст лекции
Введение в лекцию:
Раньше рассматривались случайные события, являющиеся качественной характеристикой случайного результата опыта. Для получения количественной характеристики вводится понятие случайной величины.
Учебные вопросы лекции:
1. Понятие случайной величины
Определение 1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причём заранее известно какое именно.
Примеры.
1) Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принять одно из значений: 1, 2,3,4, 5,6.
2) Прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может принять значение из некоторого промежутка.
3) Число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значение: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
4) Расстояние между эпицентром взрыва бомбы и целью, на которую она сброшена, есть случайная величина, которая может принять любое неотрицательное значение.
Случайные
величины будем обозначать прописными
буквами
X, Y,
Z,
а их возможные значения — соответствующими
строчными буквами
х, у, z.
Например, если случайная величина X
имеет три возможных значения, то они
будут обозначены так:
Случайные величины можно разделить на две категории: дискретные и непрерывные.
Определение 2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.
Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счётное количество значений.
Случайные величины из примеров 1 и 3 дискретные.
Определение 3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной.
Случайные величины из примеров 2 и 4 являются непрерывными.
Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Для задания случайной величины недостаточно просто указать её значение, необходимо также указать вероятность этого значения.
Определение 4. Под суммой (произведением) случайных величин X и Y понимают случайную величину Z = X + Y (Z = XY), возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины X и каждого возможного значения величины Y.
2. Законы распределения дискретных случайных величин
Определение 5. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.
Х |
|
|
|
… |
|
|
р |
|
|
|
… |
|
|
В верхней строке выписываются все возможные значения х1, х2, ... ...,хn величины X, в нижней строке выписываются вероятности , , …, рп значений , ..., хп. Читается таблица следующим образом: случайная величина X может принять значение xi с вероятностью pi(i = 1, 2, ..., п).
Так как в результате испытания величина х всегда примет одно из значений , ..., хп, то р1+р2 + ... +рп = 1.
Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма всех ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.
При построении многоугольника распределения надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения. Точки соединены только для наглядности.
Заключительная часть занятия:
напомнить тему и учебные вопросы занятия;
отметить степень достижения учебных целей;
ответить на возникшие вопросы;
отметить работу группы в целом;
оценить работу студентов.