11. Что такое типовое звено

Функциональные элементы, используемые в автоматических системах, могут иметь самые различные конструктивное исполнение и принципы действия. Однако общность математических выражений, связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых динамических звеньев. Каждому типовому звену соответствует определенное математическое соотношение между входной и выходной величиной. Если это соотношение является элементарным (например, дифференцирование, умножение, интегрирование и т. д.), то и звено называется элементарным.

Звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, называются типовыми динамическими звеньями.

Типовые динамические звенья являются основными составными частями алгоритмических структур непрерывных систем управления, поэтому знание их характеристик облегчает анализ таких систем.

12. Назовите основные типовые звенья.

№	Тип звена		Передаточная функция звена
1	Позиционные звенья	Безинерционное (элементарный усилитель)
2		Апереиодическое звено 1-го порядка
3		Апереиодическое звено 2-го порядка
4		Колебательное звено
5		Консервативное звено
6	Интегрирующие звенья	Идеальное интегрирующее звено
7		Интегрирующее звено c замедлением
8		Изодромное звено
9	Дифференцирующие звенья	Идеальное дифференцирующее звено
10		Дифференцирующее звено с замедлением

В курсе ТАУ изучаются следующие типы звеньев:

• Пропорциональное звено (другое название – безынерционное звено);

• Интегрирующее звено;

• Дифференцирующее звено;

• Апериодическое звено 1-го порядка;

• Реальное дифференцирующее звено;

• Форсирующее звено 1-го порядка;

• Колебательное звено;

• Апериодическое звено 2-го порядка;

• Звено чистого запаздывания.

 

13. Основные параметры типовых звеньев. Приведите примеры.

Каждое типовое звено должно изучаться по следующему плану.

• Передаточная функция звена W(p).

• Дифференциальное уравнение звена.

• Статическая характеристика звена y_ст(x_ст).

• Переходная функция звена h(t).

• Весовая функция звена g(t).

• АЧХ звена A(ω).

• ФЧХ звена φ(ω).

• АФЧХ звена jV(U).

• ЛАЧХ и ЛФЧХ звена L(ω) и φ(ω).

• Примеры элементов автоматических систем, которые могут быть представлены данным типом звена.

Пропорциональное звено (другое название – безынерционное звено).

Передаточная функция: W(p)=K

Передаточная функция не зависит от переменной p, т.е. пропорциональное звено является статическим. Параметр К называют коэффициентом передачи звена.

Уравнение звена: y(t)=К·x(t)

Пропорциональное звено – статическое, уравнение не содержит производных.

Статическая характеристика: y_ст=W(0)·x_ст=K·x_ст

Статическая характеристика – прямая линия с углом наклона arctg(K).

 

Переходная функция: h(t)=K·1(t)

Переходная функция совершает скачок от 0 до К в момент времени t=0.

 

ЛАЧХ: L(ω)=20·lg(K)

ЛАЧХ не зависит от частоты. При любой частоте гармонического воздействия звено изменяет амплитуду в К раз, т.е. на 20·lg(K) децибел.

ЛФЧХ: φ(ω)=0

ЛФЧХ не зависит от частоты. Звено не вносит фазовый сдвиг при любой частоте гармонического воздействия.

 

Примеры пропорциональных звеньев

Электронный усилитель

 

Уравнение усилителя: u₂=Ku₁, где К – коэффициент усиления.

Замечание. Представление усилителя пропорциональным звеном всегда является идеализированным. Реальный усилитель не может пропускать сигналы всех частот одинаково, с увеличением частоты входного напряжения коэффициент усиления реального усилителя будет уменьшаться, однако в широкой полосе частот это уменьшение незначительно и его можно не учитывать.

Механический редуктор

 

Уравнение редуктора: ω₂=Kω₁, где К – передаточное отношение редуктора.

Замечание. Представление редуктора пропорциональным звеном всегда является идеализированным, т.к. не учитывается упругие деформации валов и шестерен (они предполагаются абсолютно жесткими), а также зазоры в зубчатых передачах.

Интегрирующее звено

Передаточная функция:

.

Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточную функцию обычно записывают в виде:

,

где Т – постоянная времени (в секундах).

Уравнение звена:

или .

Выходная величина пропорциональна интегралу входной величины.

Статическая характеристика: y_ст =W(0)·x_ст, где W(0) = ∞

Это значит, что статический режим невозможен при x_ст 0, т.к. звено непрерывно интегрирует входную величину и выходная величина непрерывно изменяется. Статический режим возможен только при x_ст=0, когда интегрирование прекращается. Таким образом, статическая характеристика совпадает с осью y.

 

Переходная функция: h(t)=K·t·1(t)

Ее значение линейно нарастает во времени (теоретически до бесконечности). Скорость нарастания переходной функции равна коэффициенту К.

 

Весовая функция: g(t)=K·1(t)

Интегрирующее звено обладает способностью сохранять постоянное не равное нулю значение выходной величины при равенстве нулю входной величины.

 

Пример: реакция интегрирующего звена на сложное ступенчатое воздействие.

ЛАЧХ:

В логарифмическом масштабе частоты это уравнение прямой линии с наклоном –20 дБ/дек. С увеличением частоты значение ЛАЧХ уменьшается.

При ω<K, L>0 – звено усиливает амплитуду.

При ω=K, L=0 – амплитуды входной и выходной величины одинаковы.

При ω>K, L<0 – звено ослабляет амплитуду.

ЛАЧХ пересекает ось частоты на частоте ω=К (ω=1/Т). На частоте ω=1 значение ЛАЧХ равно 20·lg(К).

ЛФЧХ: φ(ω)= – 90˚ = – π/2 рад

Интегрирующее звено при любой частоте гармонического воздействия вносит отставание по фазе на четверть периода.

•  

• Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена для К>1.

 

Примеры интегрирующих звеньев

Гидравлический демпфер

Скорость движения поршня будет пропорциональна силе: , следовательно, перемещение поршня будет пропорционально интегралу силы: . Коэффициент К – зависит от конструкции демпфера и вязкости жидкости.

•  

Замечание. Такое математическое описание допустимо, только если пренебречь механической инерцией поршня, силами трения между поршнем и стенками и рядом других факторов.

Механическая часть электропривода

 

М – электромагнитный момент двигателя, М_с – момент статического сопротивления механизма на валу двигателя, ω – угловая скорость вала двигателя.

 

Скорость двигателя пропорциональна интегралу разности моментов М и М_с, которая называется динамическим моментом: М_дин = М–М_с.

,

где J_Σ – суммарный момент инерции механической части электропривода. Таким образом, моделью механической части электропривода является интегрирующее звено.

 

Замечание. Такое представление допустимо, только если пренебречь упругими деформациями валов и других элементов механической части, а также, если момент инерции не зависит от скорости и от угла поворота (для кривошипно-шатунного механизма, у которого момент инерции является переменной величиной, эта модель не подходит).

Дифференцирующее звено

Передаточная функция:

Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточную функцию обычно записывают в виде: , где Т – постоянная времени (в секундах). Дифференцирующее звено относится к идеальным звеньям (m>n).

Уравнение звена:

Выходная величина пропорциональна производной входной величины.

Статическая характеристика: y_ст =W(0)·x_ст= 0

В статическом режиме выходная величина всегда равна нулю (т.к. производная постоянной величины – ноль). Статическая характеристика совпадает с осью x.

 

Переходная функция:

 

Это дельта-импульс с площадью К. При постоянной входной величине выходная величина дифференцирующего звена равна нулю.

 

Реакция на линейно нарастающее воздействие

При воздействии x(t)=t·1(t) реакция y(t)=K·1(t). При линейно изменяющейся входной величине выходная величина дифференцирующего звена постоянна.

 

Пример: реакция дифференцирующего звена на произвольное воздействие.

ЛАЧХ: L(ω)= 20lg(Kω)=20lg(K)+20lg(ω)

В логарифмическом масштабе частоты это уравнение прямой линии с наклоном +20 дБ/дек. С увеличением частоты значение ЛАЧХ возрастает.

При ω>1/K, L>0 – звено усиливает амплитуду.

При ω=1/K, L=0 – звено не изменяет амплитуду.

При ω<1/K, L<0 – звено ослабляет амплитуду.

ЛАЧХ пересекает ось частоты на частоте ω=1/К (ω=1/Т). На частоте ω=1 значение ЛАЧХ равно 20·lg(К).

 ЛФЧХ: φ(ω)= +90˚ = π/2 рад.

Дифференцирующее звено при любой частоте гармонического воздействия вносит опережение по фазе на четверть периода.

 Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ для К<1.

 

Примеры дифференцирующих звеньев

Дифференцирующее звено является идеальным (физически нереализуемым) звеном. Это означает, что его нельзя реализовать искусственно. Однако такое звено может встретиться в модели объекта управления, когда две физические величины по своему определению связаны через производную.

Примером таких величин могут быть угол поворота вала двигателя α и угловая скорость ω. По определению угловая скорость является производной угла:

Поэтому угол поворота может рассматриваться как входная величина, а угловая скорость – как выходная величина дифференцирующего звена (в данном случае К=1).

 

 

 

Также дифференцирующие звенья могут использоваться в случаях, когда не учитывается какое-то существенное свойство рассматриваемого объекта (при идеализированном его представлении).

 

Рассмотрим идеальный конденсатор, обладающий только емкостью C и не обладающего активным сопротивлением R=0.

 

Таким образом, модель идеального конденсатора будет дифференцирующим звеном с передаточной функцией W(p)=Cp.

 

 Апериодическое звено первого порядка (другое название – инерционное звено).

 

Передаточная функция: , где K – статический коэффициент передачи, Т – постоянная времени (измеряется в секундах).

 

Уравнение звена

Найдем дифференциальное уравнение апериодического звена. По определению передаточной функции:

Переходим от изображений к оригиналам:

Статическая характеристика: y_ст =W(0)·x_ст= К·x_ст (как у пропорционального звена).

Переходная функция: . Зависимость h(t) – экспоненциальная.

При скачке воздействия выходная величина не может измениться скачком, а изменяется плавно по экспоненте, т.е. звено обладает инерцией. Отсюда происходит название звена – инерционное. Переходная функция возрастает монотонно, без колебаний. Отсюда происходит название звена – апериодическое (т.е. не имеющее периода, неколебательное).

Установившееся значение переходной функции равно коэффициенту К. Теоретически переходная функция будет бесконечно приближаться к значению K. На практике обычно считают, что переходный процесс закончился за время 3Т, когда переходная функция достигает значения 0,95К. Постоянная времени Т – это показатель инерционности звена. Чем больше Т, тем медленнее возрастает переходная функция и тем более инерционным является звено.

 Весовая функция

Найдем ее как производную переходной функции:

Начальное значение весовой функции: g(0)=K/T.

Установившееся значение весовой функции: g(∞)=0.

 

Уравнение АЧХ и ФЧХ

Получим аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ.

Частотная передаточная функция апериодического звена (после подстановки в передаточную функцию p=jω):

Таким образом, вещественная частотная характеристика:

Мнимая частотная характеристика:

Амплитудная частотная характеристика:

Фазовая частотная характеристика:

 АФЧХ

Годограф Найквиста для апериодического звена имеет вид полуокружности.

   

 ЛАЧХ и ЛФЧХ

 Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена для К>1.

   

Асимптотическая ЛАЧХ апериодического звена состоит из двух прямых. Первая прямая проходит в диапазоне частот 0…1/T с наклоном 0 дБ/дек на расстоянии 20lg(K) относительно оси частоты. При К=1 20lg(K)=0, т.е. первая прямая будет совпадать с осью частоты, при К>1 она расположена выше оси частоты, при К<1 – ниже оси частоты. Вторая прямая проходит в диапазоне частот 1/Т…∞ с наклоном –20 дБ/дек (минус двадцать). Частота, на которой соединяются прямые с разными наклонами ω=1/Т, называется частотой сопряжения. На этой частоте будет наибольшее отличие точного графика ЛАЧХ от асимптотического (оно составляет около 3дБ).

Значения ЛФЧХ лежат в пределах 0…–π/2 рад (0…–90º). На частоте сопряжения φ(Т/2)= –π/4 рад (–45º). В области низких частот ω<<1/Т апериодическое звено близко по своим свойствам к пропорциональному звену W(p)=K, в области высоких частот ω>>1/Т апериодическое звено близко по своим свойствам к интегрирующему звену W(p)=K/(Тр).

 Примеры апериодических звеньев

 Цепь якоря двигателя постоянного тока

 Дифференциальное уравнение якорной цепи (по 2-му закону Кирхгофа):

или

,

где – электромагнитная постоянная времени.

Входной величиной звена будем считать разность , а выходной величиной – ток якоря I_я. Запишем уравнение якорной цепи для изображений величин:

Находим передаточную функцию звена:

Получена передаточная функция апериодического звена. Коэффициентом К является величина – проводимость цепи якоря. Цепь якоря обладает электромагнитной инерцией, обусловленной ее индуктивностью.

 

Резистивно-емкостный фильтр низких частот

 

Входная величина звена – напряжение U₁, выходная величина звена – напряжение U₂.

 

Статический коэффициент передачи фильтра К=1, постоянная времени фильтра:

Т = RC.

При скачке входного напряжения U₁ выходное напряжение U₂ нарастает по экспоненте (по мере заряда конденсатора и снижения тока в цепи конденсатора) и стремится к значению входного напряжения.

Такой фильтр хорошо пропускает сигналы низких частот (при ω<<1/T значение АЧХ близко к единице) и подавляет сигналы высоких частот (при ω>>1/T значение АЧХ близко к нулю).

  Механическая инерционная система (демпфер и пружина).

 Входной величиной (воздействием) будем считать перемещение конца пружины x, а выходной величиной (реакцией) – перемещение поршня y. Тогда данную систему можно описать как апериодическое звено с единичным коэффициентом К=1.

 

Постоянная времени Т=δ/с, где δ – коэффициент вязкого трения при движении поршня [Нс/м], с – коэффициент жесткости пружины [Н/м].

Если переместить конец пружины на некоторое расстояние, то поршень переместится на такое же расстояние, но не мгновенно, а за время примерно равное 3Т. Величина y будет изменяться во времени по экспоненте (см. переходную функцию апериодического звена).

При таком математическом описании не учитывается масса поршня (если поршень обладает значительной массой, то данная модель может оказаться неверной – переходные процессы будут колебательными).

 Тепловая модель электродвигателя постоянного тока

 

Входная величина – квадрат тока обмотки якоряI²,

Выходная величина – температура двигателя.

Двигатель обладает тепловой инерцией. При изменении тока температура изменяется не мгновенно, а по экспоненциальному закону.

 

Статический коэффициент передачи К= RA^­­–1, где R – сопротивление обмотки якоря [Ом], А – теплоотдача в окружающую среду [Дж/с˚С]. Постоянная времени нагрева Т_н = С/А, где С – теплоемкость двигателя [Дж/ ˚С ].

Реальное дифференцирующее звено

Передаточная функция: .

Это произведение передаточных функций идеального дифференцирующего звена и апериодического звена. Если входная и выходная величина одной размерности, то передаточная функция записывается в виде:

где Т₁ – постоянная времени дифференцирующей части, Т₂ – постоянная времени инерционной части.

 Уравнение звена

Найдем дифференциальное уравнение реального дифференцирующего звена. По определению передаточной функции:

Переходим от изображений к оригиналам:

Статическая характеристика: такая же, как у идеального дифференцирующего звена.

Переходная функция: h(t)= – такая же, как весовая функция апериодического звена.

 

В отличие от идеального дифференцирующего звена у реального нет скачка до бесконечности при t=0. Инерционность сглаживает переходный процесс. Начальное значение h(0) = K/T. Чем меньше Т, тем ближе звено к идеальному. Установившееся значение переходной функции равно нулю (она асимптотически приближается к этому значению).

 ЛАЧХ и ЛФЧХ

Асимптотическая ЛАЧХ реального дифференцирующего звена состоит из двух прямых. Первая прямая проходит в диапазоне частот 0…1/T с наклоном +20 дБ/дек. Эта прямая (или ее продолжение) проходит на частоте ω=1 через значение 20lg(K). Вторая прямая проходит в диапазоне частот 1/Т…∞ с наклоном 0 дБ/дек. Частота сопряжения этих прямых ω=1/Т.

Значения ЛФЧХ лежат в пределах +π/2…0 рад (+90º…0º). На частоте сопряжения φ(Т/2)= +π/4 рад (+45º). В области низких частот ω<<1/Т реальное дифференцирующее звено близко по своим свойствам к идеальному дифференцирующему звену W(p)=Kр, в области высоких частот ω>>1/Т реальное дифференцирующее звено близко по своим свойствам к пропорциональному звену W(p)=K/Т.

 Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ реального дифференцирующего звена для К<1, Т<1.

 

Примеры реальных дифференцирующих звеньев

 Реальный конденсатор

Как было показано выше, идеальный конденсатор (при R=0) можно представить идеальным дифференцирующим звеном с передаточной функцией W(p)=Cp. У реального конденсатора (R≠0) связь между током и напряжением описывается следующим уравнением:

Переходим к изображениям величин:

откуда получаем передаточную функцию реального конденсатора:

где величина RC – это постоянная времени. При R=0 получим передаточную функцию идеального конденсатора W(p)=Cp.

 Резистивно-емкостный фильтр высоких частот

 

При скачке входного напряжения U₁ выходное напряжение U₂ в первый момент времени будет равно входному напряжению, а затем снижается по экспоненте до нуля (по мере заряда конденсатора и снижения тока в цепи конденсатора). Такой фильтр хорошо пропускает сигналы высоких частот (при ω>>1/T значение АЧХ близко к единице) и подавляет сигналы низких частот (при ω<<1/T значение АЧХ близко к нулю).

Механическая дифференцирующая система (демпфер-пружина).

 

Входной величиной будем считать перемещение поршня x, а выходной величиной – перемещение незакрепленного конца пружины y. Тогда такая система может быть описана как реальное дифференцирующее звено с постоянной времени дифференцирующей и инерционной части Т=δ/с (δ – коэффициент вязкого трения, с – коэффициент жесткости пружины)

 

При перемещении поршня в новое положение в первый момент времени конец пружины переместится на такое же расстояние, а затем возвращается в исходное положение. При движении поршня с постоянной скоростью (dx/dt=const) величина y будет постоянной и пропорциональной этой скорости.

Форсирующее звено первого порядка

Передаточная функция: ,

где К – статический коэффициент передачи, Т – постоянная времени. Форсирующее звено относится к идеальным звеньям (m=1, n=0). Передаточную функцию форсирующего звена можно представить как сумму передаточных функций идеального дифференцирующего и пропорционального звена .

Уравнение звена: .

 ЛАЧХ и ЛФЧХ

Асимптотическая ЛАЧХ форсирующего звена состоит из двух прямых. Первая прямая проходит в диапазоне частот 0…1/T с наклоном 0 дБ/дек. Первая прямая (или ее продолжение) располагается на расстоянии 20lg(K) относительно оси частоты. Вторая прямая проходит в диапазоне частот 1/Т…∞ с наклоном +20 дБ/дек. Вторая прямая (или ее продолжение) пересекает ось частоты на частоте ω=1/(КТ). Частота сопряжения этих прямых ω=1/Т.

Значения ЛФЧХ лежат в пределах 0…+π/2 рад (0º…+90º). На частоте сопряжения φ(Т/2)= +π/4 рад (+45º). В области низких частот ω<<1/Т форсирующее звено близко по своим свойствам к пропорциональному звену W(p)=K, в области высоких частот ω>>1/Т форсирующее звено близко по своим свойствам к дифференцирующему звену W(p)=KТp.

Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена для К>1.

   

Применение форсирующих звеньев

Форсирующие звенья обычно искусственно вводят в автоматическую систему и включают последовательно с апериодическими звеньями для компенсации их инерционности и ускорения переходных процессов (такое ускорение называют форсировкой).

На практике могут быть созданы реальные форсирующие звенья с передаточной функцией:

,

где Т₁ – постоянная времени форсирующей части, Т₂ – постоянная времени инерционной части.

Рассмотрим последовательное включение реального форсирующего и апериодического звена (пусть К=1).

 

 Пусть апериодическое звено обладает большой инерционностью, а инерционность реального форсирующего звена существенно меньше (Т₂<<T₁). Эквивалентная передаточная функция этих двух звеньев будет равна:

.

Получили передаточную функцию апериодического звена, но со значительно меньшей постоянной времени, чем у исходного апериодического звена. Таким образом, форсирующее звено своим действием как бы уменьшило инерционность исходного апериодического звена. Это свойство форсирующих звеньев часто используют в автоматических системах для повышения быстродействия.

 Пример реального форсирующего звена

Следующая схема описывается как реальное форсирующее звено:

 

 Колебательное звено

Передаточная функция: ,

где К – статический коэффициент передачи [К=W(0)], Т – постоянная времени (единица измерения – секунды), μ – коэффициент демпфирования (безразмерная величина), находится в пределах 0<μ<1.

Свойства колебательного звена зависят от значения полюсов его передаточной функции, т.е. от корней уравнения:

.

При 0<μ<1 получим два комплексно-сопряженных корня.

, где , .

Уравнение звена:

Переходная функция колебательного звена описывается формулой:

Колебательный характер переходной функции определяется наличием в ней периодических функций синуса и косинуса. Колебания будут затухать с течением времени, т.к. множитель при этих функциях уменьшается с увеличением времени и стремится к нулю при (t→∞).

В автоматических системах различают свободные и вынужденные колебания. Вынужденные колебания выходной величины звена возникают из-за колебаний воздействия (например, при синусоидальном воздействии). Колебания переходной функции колебательного звена – это свободные колебания: воздействие на звено не периодическое, а колебания возникают из-за собственных колебательных свойств звена.

Можно сделать следующие выводы о виде переходной функции:

1)      Установившееся значение переходной функции равно К:

.

2)      Модуль мнимой части полюсов передаточной функции Ω представляет собой угловую частоту колебаний. Период колебаний равен 2π/ω.

3)      Модуль действительной части полюсов передаточной функции α определяет скорость затухания колебаний. Чем больше α, тем быстрее затухают колебания. При одной и той же постоянной времени Т колебания будут затухать тем быстрее, чем больше значение коэффициента демпфирования μ.

Рассмотрим графики переходных функций колебательного звена при одних и тех же К и Т и разных коэффициентах демпфирования μ (0,7…0,1). Чем меньше μ тем выше амплитуда колебаний и больше время их затухания.

 

 Амплитуда колебаний отсчитывается от уровня установившегося значения К. Отношение любых двух соседних полуволн колебаний всегда постоянно и равно:

.

Параметр λ называется декрементом затухания колебаний.

 Рассмотрим вид переходной функции при граничных значениях коэффициента демпфирования μ=1 и μ=0.

При μ=1 мнимая часть полюсов обращается в ноль. Звено имеет два одинаковых действительных полюса. Это будет уже не колебательное звено, а апериодическое звено второго порядка. Переходная функция при μ=1 будет монотонной:

   

 При μ=0 получим звено, называемое консервативным. Передаточная функция консервативного звена:

.

При μ=0 действительная часть полюсов передаточной функции оказывается равной нулю:

, где .

Поскольку α=0, множитель е^–αt в переходной функции превращается в единицу. Колебания переходной функции консервативного звена будут незатухающими и продолжаются (теоретически) бесконечно долго. Угловая частота этих колебаний равна (1/Т), период колебаний равен (2πT). Амплитуда колебаний будет постоянна и равна К. Декремент затухания: λ=1.

 

ЛАЧХ и ЛФЧХ

Рассмотрим точные (не асимптотические) ЛАЧХ и ЛФЧХ при одних и тех же К и Т и разных коэффициентах демпфирования μ.

 

 При μ<0.707 на ЛАЧХ появляется точка максимума (резонансный пик). С уменьшением μ высота резонансного пика возрастает и при μ=0 стремится к бесконечности (при μ=0 ЛАЧХ имеет разрыв). Частота, на которой находится точка максимума ЛАЧХ, называется резонансной частотой. Резонансная частота находится вблизи частоты 1/Т.

Колебательное звено будет усиливать гармоническое воздействие резонансной частоты с максимальным коэффициентом усиления.

Значение ЛФЧХ находится в пределах 0…–π рад (0…–180˚). Все ЛФЧХ имеют общую точку φ = –90˚, ω=1/Т.

Рассмотрим способ построения ЛАЧХ колебательного звена. Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух асимптот с наклонами 0 и –40 дБ/дек и частотой сопряжения 1/Т. Однако, асимптотическая ЛАЧХ не учитывает наличие резонансного пика, и при малых значениях коэффициента демпфирования ее использовать нельзя. Чтобы построить точную ЛАЧХ в дополнение к двум асимптотам необходимо построить криволинейный участок ЛАЧХ в окрестности частоты (1/Т) это можно сделать по данным, приводимым в справочниках.

 

 Примеры колебательных звеньев

 

Электрический четырехполюсник (RLC-фильтр)

 

 Передаточная функция четырехполюсника:

 

Можно найти, что

, .

Чтобы звено было колебательным (μ<1) необходимо соотношение параметров:

Чтобы свободные колебания выходного напряжения не возникали (μ 1) необходимо соотношение параметров:

Если удалить из схемы резистор и пренебречь учетом активного сопротивления всех проводников, то звено становится консервативным: W(p)= . Колебания выходного напряжения, один раз возникнув, уже не затухают (это идеальный случай, который невозможен на практике; нельзя совсем устранить сопротивление проводников).

 Механическая колебательная система (пружина, груз, демпфер).

Входная величина – перемещение конца пружины х, выходная величина – перемещение поршня y. В отличие от апериодического звена здесь появился груз массы m.

Передаточная функция такой системы:

 

Отсюда следует, что , .

Звено будет колебательным (μ<1) при соотношении параметров: .

Чтобы свободные колебания поршня не возникали (μ 1) необходимо соотношение параметров: .

Если пренебречь учетом массы (m=0), то звено становится апериодическим 1-го порядка: W(p)= .

Если пренебречь учетом трения в демпфере, то звено становится консервативным .

Колебания поршня, один раз возникнув, уже не затухают (это идеальный случай, который невозможен на практике; нельзя совсем устранить трение).

Апериодическое звено второго порядка

 

Передаточная функция

Если в передаточной функции принять μ≥1, то оба ее полюса будут действительными. Поэтому знаменатель передаточной функции можно разложить на два множителя и представить передаточную функцию в виде:

,

где Т₁ и Т₂ – постоянные времени. Это будет уже не колебательное звено, а апериодическое звено 2-го порядка. Его передаточная функция равна произведению двух передаточных функций апериодических звеньев 1-го порядка.

Звено чистого запаздывания

Передаточная функция

Звено чистого запаздывания – это особое линейное звено с трансцендентной передаточной функцией:

, где τ – время запаздывания.

 Уравнение звена

По определению передаточной функции

Переходим к оригиналам, используя теорему запаздывания. Получим уравнение звена во временной области:

Статическая характеристика

y_ст = W(0)·x_ст = x_ст

Переходная функция: h(t)=1(t–τ).

Это единичная ступенчатая функция, запаздывающая на время τ.

 

 ЛАЧХ и ЛФЧХ

L(ω) = 0. Звено не изменяет амплитуду гармонического воздействия при любой частоте.

φ(ω) = –ω·τ. Фазовый сдвиг, вносимый звеном, возрастает (в сторону отставания по фазе) пропорционально запаздыванию. ФЧХ в обычном масштабе частоты будет прямой линией. ЛФЧХ в логарифмическом масштабе частоты будет нелинейна.

Пример звена чистого запаздывания

Конвейер, транспортирующий сыпучий материал.

 

Входная величина – толщина слоя в начале ленты s₁, выходная величина – толщина слоя в конце ленты s₂. Та толщина, которая есть на входе в данный момент времени, будет на выходе через время запаздывания τ.

Передаточная функция звена имеет вид:

 

Время запаздывания равно отношению длины рабочего участка ленты конвейера L к скорости ленты V: .