3.7 Метод неопределенных коэффициентов получения квадратурных формул

Итак, квадратурные формулы имеют вид

,

причем, как было установлено, если f(x) – полином степени  n, то эта формула точна (то есть R=0).

Используем это обстоятельство для нахождения коэффициентов квадратурной формулы и ее погрешности.

Будем поочередно подставлять полиномы вида¹

, где 0 i,k  n.

i=0:	P0(x)=1;
i=1:	P1(x)=x–xk ;
			
i=n:	Pn(x)=(x–xk)n;

Получили систему n+1 линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов С_i .

Затем находим погрешность квадратурной формулы тем же способом, что и в п. 3.2 для формул численного дифференцирования.

Продолжаем процесс подстановки полиномов дальше, но уже в квадратурную формулу с погрешностью R  0:

i=n+1:	Pn+1(x)=(x–xk)n+1;

Так как коэффициенты C_i уже определены, то из этого уравнения определяем – погрешность квадратурной формулы для полинома вида

P_n+1(x)=(x–x_k)ⁿ⁺¹.

Если погрешность равна нулю, то это означает, что порядок точности формулы выше, и процесс подстановки полиномов продолжается:

P_n+2(x)=(x–x_k)ⁿ⁺² ; P_n+3(x)=(x–x_k)ⁿ⁺³;...; P_m(x)=(x–x_k)^m ,

до тех пор, пока не станет отличной от нуля.

Погрешность квадратурной формулы для произвольной подынтегральной функции находится по формуле

.

Пример 6. Получить формулу численного интегрирования на элементарном отрезке по двум точкам:

.

y=1:	;	C0+C1=h;
y=x–xi :	;	.

Таким образом, С₀=C₁= h/2, и искомая формула имеет вид:

(формула трапеций).

Найдем погрешность.

y=(x–xi)2 :

.

Отсюда

. .

Пример 7. Получить формулу численного интегрирования на элементарном отрезке по трем точкам:

.

y=1:
y=(x–xi–1/2):
y=(x–xi–1/2)2:

Таким образом, система уравнений для искомых коэффициентов имеет вид:

C₀+C₁+C₂ = h;

–C₀+C₂=0;

C₀+C₂=h/3.

Решая ее, получаем: C₀=h/6; C₁=4h/6; C₃=h/6.

Найдем погрешность.

y=(x–xi–1/2)3:

.

Отсюда , и процесс подстановки полиномов продолжаем дальше:

y=(x–xi–1/2)4:

.

Погрешность , а

.

Таким образом, получили формулу Симпсона:

.

Пример 8. Получить формулу численного интегрирования, не являющуюся квадратурной в смысле данного определения (п. 3.5):

.

В правой части стоят производные в узловых точках – в этом отличие данной формулы численного интегрирования от квадратурной формулы интерполяционного типа (см. п. 3.8). Пусть x₁–x₀=h. Используем метод неопределенных коэффициентов.

y=1 :	h=C0+C1 ;	Решение:
y=x–x0 :	h2/2=C1h+D0+D1;	С0=h/2 ; C1=h/2 ;
y=(x–x0)2 :	h3/3=C1h2+2D1h ;	D0=h2/12 ; D1= –h2/12.
y=(x–x0)3 :	h4/4=C1h3+3D1h2 .

Погрешность:

y=(x–x₀)⁴ : h⁵/5=C₁h⁴+4D₁h³+ ; =h⁵/30; .

Следовательно, искомая формула (формула Эйлера) имеет вид:

. (3.11)

Запишем составную формулу Эйлера:

.

Таким образом, небольшая добавка к формуле трапеции (а первая группа слагаемых в формуле Эйлера представляет собой именно формулу трапеций) заметно повышает ее точность. Сравните:

Более того, можно показать, что при численной реализации этой формулы для аппроксимации производных (не снижая точности формулы Эйлера!) можно использовать формулы второго порядка точности:

3.8 КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ НЬЮТОНА–КОТЕСА

Выше мы рассмотрели квадратурные формулы, основанные на интерполяции подынтегральной функции. Поэтому такие формулы называются также квадратурными формулами интерполяционного типа и в общем случае записываются в виде:

, (3.12)

где (х)>0 – заданная интегрируемая функция, называемая весовой функцией.

Если расположение узлов на отрезке интегрирования равномерное, то квадратурные формулы интерполяционного типа называются квадратурными формулами Ньютона-Котеса.

Таким образом, формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона являются простейшими частными случаями формул Ньютона-Котеса при (х)1.

Основное свойство всех формул Ньютона-Котеса – они точно интегрируют полиномы до степени n включительно. Этот факт мы использовали при работе с методом неопределенных коэффициентов.

Справедливо и обратное утверждение: если квадратурная формула

точна для любого полинома степени n , то она является формулой Ньютона-Котеса (или шире – квадратурной формулой интерполяционного типа).

Получим явные выражения для коэффициентов формул Ньютона-Котеса. Это можно сделать простым интегрированием (вот еще один способ построения квадратурных формул) выражения (см. п. 3.5):

.

Заменим переменную x=a+th, где t=0,1,..., n.

Тогда:

1) узловые точки x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2h; ... ; x_n=a+nh;

2) бином x–x_i=a+th–a–ih=h(t–i);

3) полином

4) производная

Подставляя все эти выражения в формулу для коэффициентов С_i, имеем:

. (3.13)

Пример 9. Получить коэффициенты квадратурной формулы Ньютона-Котеса при (х)1, n=2.

Это коэффициенты квадратурной формулы Симпсона

.

Погрешность формул Ньютона-Котеса оценивается интегралом от соответствующей погрешности интерполяционного полинома. Используя ту же самую замену переменных, получаем:

.

Отметим, что, как мы уже видели, эта формула не всегда работает (например, для симметричных формул). Тогда следует использовать другие способы определения погрешности.

Примечание. Формулы Ньютона-Котеса высших порядков.

При n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 все коэффициенты C_i (3.13) положительны, а при n=8 и n10 среди них имеются как положительные, так и отрицательные. По этой причине формулу Ньютона-Котеса не рекомендуется применять при больших n.

Конец примечания.

3.9 КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ГАУССА

Рассматривая квадратурные формулы интерполяционного типа, можно сделать вывод, что повышение их точности связано с увеличением количества узловых точек. Зададимся вопросом: нельзя ли повысить точность квадратурной формулы не изменяя количества узлов, а лишь перераспределяя их на заданном отрезке? Ранее мы видели, что можно минимизировать погрешность интерполяционного полинома, выбирая в качестве узлов корни полинома Чебышева. Поэтому есть надежда, что и здесь за счет отказа от равномерного расположения узлов можно получить квадратурные формулы, которые будут точны для полиномов степени выше, чем n.

Поставим задачу так: построить квадратурную формулу

,

которая при заданном n была бы точна для алгебраических полиномов возможно больших степеней m>n. ¹

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов (см. п. 3.7), но будем считать неопределенными не только коэффициенты, но и узлы.

Будем поочередно подставлять в это соотношение полиномы вида

f(x)=x^ , где =0, 1, 2,..., m.

Получим нелинейную систему m+1 уравнений относительно 2n неизвестных С₁, С₂, ..., С_n, x₁, x₂,..., x_n:

. (3.14)

Чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, необходимо потребовать m+1=2n. Отсюда m=2n–1 – искомая наивысшая степень алгебраического полинома. Решая эту систему, находим неизвестные С₁, С₂, ..., С_n, x₁, x₂,..., x_n.

Погрешность найденной квадратурной формулы находим, подставляя в соотношение

полиномы степени выше, чем m.

Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами наивысшей степени точности или квадратурными формулами Гаусса.

Пример 10. Рассмотрим частный случай. Пусть (x)1; a=–1; b=1; n=3. Получим квадратурную формулу вида

.

f(x)=1;	2=C(1+1+1)	C=2/3;
f(x)=x;	0=C( );	;
f(x)=x2;	2/3=C( );	;
f(x)=x3;	0=C( );	.

Решая систему нелинейных уравнений¹, найдем

Для нахождения погрешности подставим следующую по порядку функцию f(x).

f(x)=x4;

;

.

Тогда .

Таким образом, искомая формула имеет вид:

.

Такие формулы называются квадратурными формулами Чебышева. Их общий вид:

. (3.15)

При n=8 и n>9 узловые точки x_i принимают комплексные значения, поэтому квадратурные формулы Чебышева применимы только для n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.

Квадратурную формулу Чебышева можно применить и к интегралам с произвольными отрезками интегрирования a и b, сделав замену переменных

.

Эта замена переводит отрезок x[a;b] в отрезок t[–1;1]. Тогда

.

В общем же случае решение системы (3.14) довольно затруднительно. На помощь приходит теорема, которая дает рекомендации по построению квадратурных формул Гаусса.

Теорема. Квадратурная формула

(3.16)

точна для любого полинома степени m=2n–1 тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

1) полином (x)=(x–x₁)(x–x₂)... (x–x_n), составленный по узловым значениям квадратурной формулы x₁, x₂, …, x_n, x [a, b], ортогонален с весом (х) любому полиному q(x) степени меньшей, чем n, то есть

; (3.17)

2) формула (3.17) является квадратурной формулой интерполяционного типа, то есть

(i=1...n). (3.18)

Доказательство.

Необходимость. Пусть формула (3.16) точна для любого полинома степени m=2n–1. Тогда она будет точна и для полинома (x)q(x), так как его степень не выше 2n–1 (полином (x) имеет степень n, а q(x) имеет степень не больше, чем n–1 ). Поэтому

,

так как (x_i)=0 .

Формула (3.17) доказана. А о справедливости (3.18) мы упоминали ранее (п.3.8).

Достаточность. Пусть f(x) – любой полином степени 2n–1. По теореме о делении полиномов его всегда можно представить в виде

f(x)=(x)q(x)+r(x),

где r(x) – полином степени не выше n–1.

Тогда

Теорема доказана.

Практический вывод из этой теоремы следующий: чтобы обеспечить наивысший порядок точности квадратурной формулы, необходимо найти систему ортогональных на отрезке [a;b] с весом (х) полиномов Р_n(х) и их корни взять в качестве n узлов х₁ ... х_n квадратурной формулы. Затем найти коэффициенты квадратурной формулы: либо методом неопределенных коэффициентов, либо непосредственным интегрированием:

.

Для погрешности квадратурных формул Гаусса справедлива формула

.

3.10 НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТУРНЫХ

ФОРМУЛ ГАУССА

3.10.1 Формула Гаусса-Чебышева¹

Известно, что полиномы Чебышева T_n(x)=cos(narccos(x)) обладают свойством ортогональности с весом , (–1x1).

T₀(x)=1;

T₁(x)=x;

T₂(x)=2x²–1;

T₃(x)=4x³–x;



T_n+1(x)=2xT_n(x)–T_n–1(x).

Поэтому справедлива квадратурная формула

, (3.19)

где x_i – корни полинома Чебышева:

Для коэффициентов С_i, определяя их по формуле

,

получим, что при любом i и n C_i = /n.

Погрешность формулы можно определить двумя способами: либо методом неопределенных коэффициентов, либо по формуле

.

Таким образом, например, при n=3 формула Гаусса-Чебышева выглядит следующим образом:

.