Расчет статистических характеристик по сгруппированным данным

Моменты и статистические характеристики можно рассчитать по сгруппированным данным, что сокращает объем вычислений при большом числе исходных данных.

Пример 1. Известны частота значений случайной величины в классах n_i, границы начального и конечного классов и размер (шаг) классов h. Требуется рассчитать статистические характеристики.

Расчет начинается с присвоения каждому классу условного порядкового номера х. Одному из классов присваивают нулевой номер, остальным – отрицательные и положительные номера (табл.2.5). Все классы располагают в порядке возрастания без пропусков. Нулевой класс выбирают произвольно, по возможности ближе к среднему значению, что уменьшает объем вычислений. Чаще всего за нулевой принимают класс с максимальной частотой. В табл.2.5 нулевой класс имеет пределы 40-42, его середина х₀ = 41, а шаг h = 2.

Вначале расчеты выполним в табл.2.5. С помощью условных номеров вычислим начальные моменты, но в условном масштабе, так как размер классов h = 2. Для этого найдем произведения n_ix_i, суммируем их и определим среднее в каждой графе путем деления на общее число данных n = 147. Последняя строка таблицы содержит начальные моменты в условном масштабе m₁ = 0,56; m₂ = 6,80; m₃ = 14,33; m₄ = 132,30. От начальных моментов можно перейти к центральным моментам и далее к статистическим характеристикам.

Поскольку нулевой класс выбран произвольно и необходимо учесть размер классов, формулы вычисления среднего значения и центральных моментов выглядят следующим образом:

среднее значение

= x₀ + m₁h; (2.16)

центральные моменты:

₁ = 0; ;

; (2.17)

Таблица 2.5

Расчет статистических характеристик по сгруппированным данным

Класс x, %	Частота ni		Номер класса xi	Произведения				Сумма частот ni
30-32	2		-5	-10	50	-250	1250	2
32-34	6		-4	-24	96	-376	1504	8
34-36	9		-3	-27	81	-243	729	17
36-38	14		-2	-28	56	-112	224	31
38-40	20		-1	-20	20	-20	20	51
40-42	25		0	0	0	0	0	76
42-44	21		1	21	21	21	21	97
44-46	17		2	34	68	136	272	114
46-48	13		3	39	117	351	1053	127
48-50	10		4	40	160	640	2560	137
50-52	5		5	25	125	625	3125	142
52-54	3		6	18	108	648	3888	145
54-56	2		7	14	98	686	4802	147
Cумма	147		–	82	1000	2106	19448	–
Среднее	–		–	0,56	6,80	14,33	132,30	–
Моменты	–		–	m1	m2	m3	m4	–

Между формулами (2.14) и (2.17) имеются различия. Так, в формулах (2.17) появляется размер классов h, играющий роль масштабного множителя, и поправки Шеппарда, которые возник ли из-за того, что внутри классов нивелированы различия между отдельными значениями.

Поправка Шеппарда ко второму центральному моменту –h/12, к третьему –m₁h², к четвертому .

По данным табл.2.5 вычисляем статистические характеристики:

= 41 + 0,562 = 42,12; ₂ = (6,80 – 0,56² – 1/12)2² = 25,6;

₃ = (14,33 – 36,800,56 + 20,56³)2³ – 0,562² = 23,82;

₄ = (132,3 – 414,330,56 +

+ 66,800,56² – 30,56⁴)2⁴ – (6,80 – 0,56)/22² +

+ 7/2402⁴ = 1790,7;

² = 25,6;  = 5,06; ³ = 129,5; ⁴ = 655,36;

V = 5,06/42,12 = 0,120 = 12,0 %; A = 23,82/129,5 = 0,184;

E = 1790,7/655,36 – 3 = –0,268.

Медиану в сгруппированных данных находят линейной интерполяцией в том классе, где нарастающая сумма частот (последняя графа табл.2.5) переходит через половину общего числа значений n. В рассматриваемом примере из 147 значений средний член имеет порядковый номер (147 + 1)/2 = 74. Следовательно, медиана заключена в классе 40-42, где находятся порядковые номера с 52 по 76. Обозначим начало класса x_н = 40, число значений в классе n_i = 25. Порядковый номер медианы в классе найдем как разность n_т = 74 – 51 = 23.

Тогда медиана

(2.18)

Подставляя данные, получим x_med = 40 + 23/252 = 41,84.

Один из приемов нахождения моды основан на параболической интерполяции частот по трем соседним классам, включая класс с максимальной частотой.

В рассматриваемом примере это будут классы 38-40, 40-42, 42-44 с частотами соответственно 20, 25, 21.

Обозначим частоты этих классов n₁, n₂, n₃.

Тогда мода

, (2.19)

где x₀ – середина класса с максимальной частотой.

Подставляя численные значения, найдем

.

Подведем итог расчета статистических характеристик: среднее значение = 42,12; медиана x_med = 41,84; мода x_mod = 41,11; дисперсия ² = 25,6; среднеквадратичное отклонение  = 5,06; коэффициент вариации V = 12,0 %; асимметрия A = 0,184; эксцесс E = –0,268.