Лекция №5.

Математическое моделирование физических процессов

1. Изменение атмосферного давления с изменением расстояния от поверхности Земли.

Примем следующие предположения для математической модели: 1) температура воздуха не зависит от высоты над поверхностью; 2) воздух является идеальным газом; 3) гравитационные силы подчиняются закону Ньютона.

Тогда можно показать, что давление на расстоянии от центра Земли удовлетворяет уравнению:

, (1)

причем на поверхности Земли , .

Здесь – радиус Земли, ( – гравитационная постоянная, – масса

Земли, – ускорение свободного падения, – константа). Если эти параметры выбраны в одной и той же системе единиц, отношение .

Уравнение (1) удобно привести к безразмерному виду. Для этого введем новые переменные: , , . Так как , то пренебрегая величиной , уравнение (1) сведем к виду:

. (2)

Начальное условие, которое обеспечивает единственность решения, формулируется как .

2. Задача об остывании тела.

Рассмотрим подробнее теплофизическую задачу в упрощенной постановке.

Пусть нагретое тело помещено в среду, имеющую более низкую температуру .

Из опыта ясно, что тело будет остывать до тех пор, пока его температура не сравняется с температурой среды, но как будет происходить процесс остывания со временем? Для простоты рассмотрения предположим, что тело обладает высокой теплопроводностью, так что температура быстро выравнивается по всему объему, т.е. считаем, что равномерно нагретое тело будет так же равномерно остывать, и задачу распределения температуры в объеме мы не рассматриваем. Это существенное упрощение модели явления, так как в этом случае температура является функцией лишь одной переменной – времени . Лучистым теплообменом также пренебрежем, т.к. его вклад становится существенным при достаточно высоких температурах.

Выберем некоторый момент времени t, в который температура достигла значения , и посмотрим, что произойдет за бесконечно малый промежуток времени . За это время тело отдаст в среду с единицы поверхности количество тепла, пропорциональное разности температур тела и среды (закон Ньютона-Рихмана), и величине промежутка :

.

С другой стороны, за это время тело понизит свою температуру на величину , и

если массовая теплоемкость тела равна , а масса, сосредоточенная в объеме, ограниченном поверхностью с единичной площадью равна , то количество тепла

, отданное телом, равно . Тогда можем записать

,

откуда

, (3)

где коэффициент назовем коэффициентом остывания.

Таким образом, мы получили математическую модель для задачи остывания тела в виде обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Для его решения необходимо иметь начальное условие: . Это уравнение

легко интегрируется, если коэффициент остывания - константа, однако, если является некоторой функцией температуры (что вполне реально), то для решения поставленной задачи приходится прибегать к численным методам.