Подготовили:

студенты 402 группы

математического факультета

Сидорчик Елена

Карачун Анастасия

Романчук Юлия

Задачи о числах. Делимость

– Сегодня мы будем работать с 2 множествами. Множеством натуральных и целых чисел (на слайде изображены обозначения этих множеств: N={1,2,3,4…} –мн. натуральных чисел; ={0,1,2,3…}; Z={…–2,–1,0,1,2,…} – мн. целых чисел). По ходу занятия мы вспомним: делимость чисел нацело и с остатком, четность и нечетность чисел, простые и составные числа, алгоритм Евклида, признаки делимости, НОД и НОК, взаимно простые числа и ММИ.

Четность и нечетность

– Какие числа называются четными?

(– Числа, которые делятся на 2 нацело.)

– Какие числа называются нечетными?

(– Числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1.)

– Вспомним, как записываются четные и нечетные числа.

(– n=2k, k  Z – четные числа; n=2k+1, k  Z – нечетные числа.)

–(стр.41 №57) Сумма 2ух целых чисел не четна. Четно или нечетно их произведение?

(– Четно. Т.к. пусть n1+n2=2k1+(2k2+1). n1*n2=2k1*(2k2+1)=4k1k2+2k1. Первое слагаемое четно, второе слагаемое четно, значит сумма четна.)

–(стр.42 №59) Можно ли разменять 25р., имея только рублевые, 3ехрублевые и 5тирублевые купюры, чтобы получилось 10 купюр?

(– Нет, т.к. сумма 10ти нечетных чисел четна, а 25 нечетное число.)

–(стр.43 №65) В вершинах куба расставили числа 1,2,3,4,5,6,7,8. На каждой грани записали сумму чисел в её вершинах, могут ли на гранях получиться 6 последовательных натуральных чисел?

(– Попробуем просуммировать числа на всех гранях. Каждая вершина принадлежит 3ем граням куба, поэтому каждое из 8ми чисел в общей сумме утроится. 3(1+2+3+4+5+6+7+8)=108. Но среди любых 6ти последовательных натуральных чисел 3 четных и 3 нечетных. Следовательно, их сумма нечетна и не может быть равна 108.)

Остатки

– Что значит, разделит натуральное число n на натуральное число m с остатком?

(– Разделить натуральное число n на натуральное число m с остатком означает найти такие числа k и r из множества , что n=km+r, причем 0<=r<m.)

– Как при этом называется число r?

(– r называется остатком от деления n на m.)

– Какими свойствами обладает остаток?

(– Остаток всегда меньше делителя. При делении натуральных чисел на заданное натуральное число может быть только конечное число различных остатков.)

– Более подробно поговорим о возможных остатках при делении на 3 и попробуем обобщить наблюдения и для других делителей. Докажем 2 утверждения.

– Утверждение 1: Сумма любых 2ух натуральных чисел и сумма их остатков от деления на 3 имеют одинаковые остатки при делении на 3.

Доказательство: Пусть n1=k1*3+r1, n2=k2*3+r2. Тогда n1+n2=(k1+k2)*3+(r1+r2). Как поведет себя последняя сумма при делении на 3? Слагаемое (k1+k2)*3 поделиться нацело, а (r1+r2) можно представить в виде: r1+r2=k3*3+r3. После подстановки получим: n1+n2=(k1+k2+k3)+r3. Так что остаток от деления n1+n2 на 3 будет таким же, как остаток от деления r1+r2 на 3.

– Утверждение 2: Произведение любых 2ух натуральных чисел и произведение их остатков от деления на 3 имеют одинаковые остатки при делении на 3.

– Как будем проводить доказательство?

(– Аналогично доказательству первого утверждения)

– Проведите доказательство дома.

– Что произойдет, если в утверждениях 1 и 2 тройку заменить любым другим натуральным числом?

(– Утверждения будут справедливы. (В этом легко убедиться, проведя аналогичные рассуждения))

–(стр.48 №72а) Найдите остаток от деления числа 22*50+44*10 на 3.

(– Воспользуемся утверждениями 1 и 2. Заменим каждое из чисел на его остаток от деления на 3. Получим выражение 1*2+2*1. Это число равно 4 и дает остаток 1 при делении на 3. Значит, остаток от деления исходного числа на 3 также равен 1.)

–(стр. 57 №82) Докажите, что не существует натуральных чисел a и b таких, что .

(– Рассмотрим возможные остатки левой и правой части от деления на 3. Число при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Число делится на 3 нацело, т.е. с остатком 0, значит, остаток левой части при делении на 3 может быть только 0 или 1, а число 8 делится на 3 с остатком 2. Следовательно, данное равенство при натуральных a и b не возможно.)