Представление аналитических функций рядами

Всякая аналитическая в круге z-z₀R функция f(z) представляется в нем сходящимся рядом Тейлора , где

. (5)

Интегрирование ведется против часовой стрелки.

Теорема Лорана. В любом кольце К: rz-аR, где r0, R, в котором аналитична функция f(z), эта функция может быть представлена своим рядом Лорана , равномерно сходящимся в любой замкнутой области, принадлежащей кольцу К.

Особые точки

Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность 0<z-a<R этой точки ( с исключенной точкой а), в которой f(z) аналитична. Подчеркнем, что здесь речь идет о точках, в окрестности которых функция однозначна.

Различают три типа изолированных особых точек в зависимости от поведения функции f(z) в их окрестности:

1) Точка а называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел .

2) Точка а называется полюсом, если f(z) является бесконечно большой при приближении к а, то есть если существует (это означает, что  f(z)  при z).

1. Точка а называется существенно особой точкой, если предел не существует.

Теорема 1. Для того, чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки а не содержало главной части.

Теорема 2. Для того, чтобы точка а была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f(z) в окрестности точки а содержала лишь конечное число членов.

При этом номер старшего отрицательного члена разложения совпадает с порядком полюса.

Теорема 3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой для функции f(z), когда главная часть лорановского разложения функции f(z) в окрестности точки а содержит бесконечное число членов.

Вычеты

Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке а (обозначается resf(a)) называется число где  достаточно малая окружность z-a, проходимая в положительном направлении.

Из формул для коэффициентов ряда Лорана при п=-1 непосредственно вытекает, что

(6)

т. е. вычет функции f(z) в особой точке а равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении функции f(z) в окрестности точки а. Отсюда следует, что в устранимой особой точке вычет функции всегда равен нулю.

Нахождение вычета в полюсе порядка п облегчает следующая формула:

(7)

Для полюсов первого порядка формула (7) принимает особенно простой вид:

(8)

Если в окрестности точки а определена как частное двух аналитических в этой точке функций: причем (а)0, а (z) имеет в а нуль первого порядка (т.е. (а)=0, а (a)0), то формулу (7) можно заменить следующей формулой:

(9)

Теорема Коши (для вычетов). Пусть функция f(z) непрерывна на границе С области D и аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек а₁, а₂,…, а_п. Тогда, если С обходится

в положительном направлении, то

(10)