Функции комплексного переменного

Говорят, что на множестве М точек плоскости Z задана функция w=f(z), если указан закон по которому каждой точке z из М ставится в соответствие точка или совокупность точек w. В первом случае функция f(z) называется однозначной, во втором – многозначной. Если положить z=x+iy и w=u+iv, то задание функции комплексного переменного w=f(z) будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных: u=u(x,y), v=v(x,y).

Говорят, что существует предел функции f(z) при zz₀ (обозначается ): если существуют пределы

при этом:

В частности, имеем:

Определение: Функция f(z) называется непрерывной в точке z₀, если она определена в некоторой окрестности точки z₀ (включая саму точку z₀) и

Очевидно, что для непрерывности f(z) в точке z₀ необходимо и достаточно, чтобы функции и(х,у) и v(х,у) были непрерывны в точке (х₀,у₀). Функция f(z) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Будем говорить, что функция f(z) дифференцируема в точке z, если существует предел

Этот предел будем называть производной функции f(z) в точке z.

Условия дифференцируемости функции f(z) в терминах действительных функций и(х,у) и v(х,у) выражает следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(z)=и(х,у)+iv(х,у) определена в некоторой окрестности точки z, причем в этой точке функции и(х,у) и v(х,у) дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции f(z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения:

(*)

(условия Коши - Римана).

Условия Коши – Римана функции, заданной в полярных координатах f(z)=u(r,)+iv(r,), имеют вид , а производная ее вычисляется по формуле Если функция (х,у) имеет непрерывные частные производные первых двух порядков и удовлетворяет условию , то ее называют гармонической функцией. По любой гармонической функции (х,у) можно построить аналитическую функцию, действительная (мнимая) часть которой совпадает с заданной функцией. При этом,

если u(х,у)=(х,у), то

a если v(х,у)=(х,у), то

Элементарные функции

Показательная функция комплексного переменного z=x+iy

вычисляется по формуле e^z=e^x+iy=e^x(cosy+isiny). Она имеет основной период 2i: e^z+2ki =e^z, k=0,+1,+2,….

Тригонометрические функции выражаются через показательную:

Гиперболические функции определяются равенствами:

Логарифмическая функция вычисляется по формуле:

Lnz=lnz+i(argz+2k), k=0,+1,+2,….

Значение логарифмической функции при k=0 называется главным и обозначается lnz=lnz+iargz.

Обратные тригонометрические функции выражаются через логарифмическую функцию:

Значения, соответствующие главному значению логарифма, называются главными значениями обратных тригонометрических функций и обозначаются arcsin z, arcos z, arctg z, arcctg z.

Общая степенная функция определяется равенством

z^a=e^aLnz, где а – постоянная.

Общая показательная функция определяется равенством a^z=e^zLna, где а – постоянная.

Кривая на комплексной плоскости может задаваться уравнением вида z=x(t)+iy(t), где t - параметр, а ее параметрические уравнения: x=x(t), y=y(t).

Например: Окружность с центром в точке z₀=x₀+iy₀ радиуса R может быть задана в разной форме: 1) z-z₀=R; 2) z=z₀+Re^it, 0t2; 3) x=x₀+Rcost, y=y₀+Rsint; 4) (x-x₀)²+(y-y₀)²=R².

Теорема Коши. Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то для всех кривых С, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл имеет одно и то же значение.

Теорема . Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то ее интеграл вдоль любого замкнутого контура С лежащего в D, равен нулю

Теорема Коши для многосвязной области. Если D –конечная п-связная область, границей которой служит п попарно непересекающихся кусочно-гладких кривых С₁, С₂,…, С_п, и если функция f(z) аналитична в замкнутой областиD, то

(1)

где С_п –внешний контур, а обход всех кривых С_k (k=1,2,…,n) производится в одном направлении .

Пусть функция f(z) аналитична в п-связной области D и непрерывна в замкнутой областиD. Тогда для любой внутренней точки z этой области имеет место интегральная формула Коши:

(2)

где С – граница области D, проходимая так, что область D остается все время слева.

Имеет место следующее равенство:

(3)

где контур С при интегрировании обходится один раз против часовой стрелки

Теорема . Если функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в замкнутой областиD, то она обладает в каждой точке области D производными всех порядков, причем п-я производная представляется формулой

(4)

где С – граница области D.