МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Курский государственный технический университет

Кафедра высшей математики

Р азвитие

И ндивидуального

Т ворческого

М ышления

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Методическое пособие по выполнению модуля №15

КУРСК 2003

Составитель: Е.А .БОЙЦОВА

УДК 510(083)

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Дмитриев В.И.

Функции комплексного переменного. Методические указания к выполнению модуля 15.1 / Курск. гос. техн. ун.-т; Сост. Е.А Бойцова. Курск, 2002. 26 с.

Работа предназначена для студентов всех специальностей.

Библиогр. 6 назв.

Текст печатается в авторской редакции

ИД № 06430 от 10.12.2001. ПЛД № 50-25 от 1. 04. 97.

Подписано в печать . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,56. Уч. изд. л.0,52. Тираж 100 экз. Заказ Курский государственный технический университет.

Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040 г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Содержание

Общие указания………………………………………………………. 4

Общие теоретические положения………………………………….... 4

Примеры выполнения заданий……………………………………..33

Библиографический список……………………………………….. .45

Общие указания

Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих курс теории функций комплексного переменного и работающих в системе «Ритм». Оно содержит к модулю 15 – «Функции комплексного переменного». Самостоятельное выполнение этих заданий послужит закреплению у студентов умения решать задачи по функциям комплексного переменного и использовать теорию функций комплексного переменного в прикладных вопросах высшей математики.

Теоретические сведения по данному разделу курса высшей математики см. в работах [1,2,3]. Методика решения задач с помощью теории функций комплексного переменного изложена в работах [3,4].

ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Комплексные числа

Выражение вида z=x+iy , где x и y – действительные числа, а i- –символ, который называется мнимой единицей, причем i²=-1, называется комплексным числом.

Иногда комплексным числом называют всевозможные упорядо-ченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом введены операции сложения:

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂)

и умножения: z₁z₂=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+x₂y₁).

Действительные числа x и y называются действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются символами x=Re(z) , y=Im(z).

Два комплексных числа z₁ = x₁+iy₁ и z₂ = x₂+iy₂ называются равными в том и только том случае, когда x₁ = x₂ и y₁ = y₂.

Выражение вида z=x+iy называется алгебраической формой комплексного числа.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:

а) z₁+ z₂ = z₂+ z₁ –коммутативность сложения;

б) (z₁+z₂)+z₃= z₁+(z₂+z₃)-ассоциативность сложения;

в) z₁  z₂ = z₂  z₁ - коммутативность умножения;

г) (z₁  z₂)  z₃ = z₁  (z₂  z₃) - ассоциативность умножения;

д) z₁  (z₂+z₃) = z₁  z₂ +z₁  z₃ - закон дистрибутивности.

Выражение z=x-iy называется сопряженным комплексным чис-лом для числа z=x+iy. Произведение zz=(x-iy)(x+iy)=x²+y² - действительное число.

Если z₂0, то операция деления двух комплексных чисел опре-деляется формулой

.

Произведение n равных чисел z называется n–й степенью числа z и обозначается символом z ⁿ.

Обратная операция – извлечение корня – определяется следую-щим образом: число w называется корнем n–й степени из числа z, если w ⁿ = z. Обозначается символом w= . Отметим, что для всякого z  0 корень имеет n различных значений.

Рассмотрим плоскость декартовых координат xOy и условимся изображать комплексное число z=x+iy точкой с координатами (x,y). При этом действительные числа будут изображаться точками оси x (которую будем называть действительной осью), чисто мнимые- точками оси y (называемой мнимой осью). Соответствие между множеством всех комплексных чисел и всех точек плоскости взаим-нооднозначно.

Далее, каждой точке (x,y) соответствует вполне определенный вектор - радиус-вектор этой точки, а каждому радиусу-вектору, лежа-щему в плоскости, - вполне определенная точка - его конец (рис.1). Поэтому комплексные числа удобно представлять так же в виде радиусов-векторов на плоскости. Из рис.1 ясен геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел: сумма и разность комплексных чисел z₁ и z₂ изображаются соответственно векторами, равными направленным диагоналям параллелограмма, построенного на векторах z₁ и z₂.

Рис.1. Изображение комплексных чисел точками и векторами

Наряду с представлением комплексных чисел в декартовых ко-ординатах, полезно иметь их представление в полярных координатах. Для этого совместим полярную ось с положительной полуосью x, а полюс - с началом координат; тогда, если обозначить через r поляр-ный радиус и через  полярный угол точки z (рис.1), то будем иметь

z =x+iy=r(Cos +i Sin ).

Такая запись комплексного числа называется его тригонометрической формой. Полярный радиус r называется модулем комплекс-ного числа z и обозначается символом z, угол  - его аргументом и обозначается символом Arg z. В то время как модуль комплексного числа определяется однозначно: z=  (в данном случае – обозначает арифметический корень из действительного числа, а – множество корней n –й степени из комплексного числа), a аргумент определяется лишь с точностью до любого слагаемого кратного 2. Из множества значений аргументов для z выделяется главное значение, которое обозначается аrg z. По определению это угол, удовлетворяющий условию    аrg z  . Он может быть определен из условия:

  аrg z = , если М(х,у)  ,  четверти,

  аrg z =  + , если М(х,у)   четверти,

  аrg z =  + , если М(х,у)   четверти.

Произведение двух комплексных чисел, записанных в тригоно-метрической форме, принимает вид

z₁ z₂ = r₁ r₂[(Cos₁Cos₂ –Sin₁Sin₂+i(Sin₁Cos₂+Sin₂Cos₁)]=

= r₁ r₂[Cos(₁+₂) +iSin(₁+₂) ].

Если комплексное число z записано в тригонометрической фор-ме, то при целом положительном n вытекает следующая формула:

- называемая формулой Муавра.

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа z, записанного в тригонометрической форме, примет вид

.

Задавая к=0, 1, 2,…, n-1, мы получим n различных значений корня, так как увеличение к на единицу влечет за собой увеличение аргумента на (2n).

Таким образом, извлечение корня n-й степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n-й степени расположены на окружности радиуса с цент-ром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.

Показательная функция для любого комплексного числа z=x+iy определяется соотношением:

e^z = .

Полагая x = 0, y = , получим классическую формулу Эйлера:

.

С помощью формулы Эйлера любое комплексное число z с мо-дулем r и аргументом  можно записать в следующей показательной форме: .