4.3.2 Пример решения задачи 3

Расчетная схема задачи представлена на рисунке 5. Размеры конструкции (мм): l₁=300 мм, l₂=500 мм, d₁=240 мм, d₂=30 мм, D₁=200 мм, t₁=40 мм.

Р азмеры расчетной схемы стержня: а₁=150 мм, а₂=320 мм, а₃=590 мм, а₄=840 мм.

Расчетные моменты инерции сечений:

мм⁴

мм⁴

мм⁴

Расчетные меры инерции в 4-х массовой системе:

мм⁴

Параметры материала:

Расчет критической скорости вращения вала

Воспользуемся алгоритмом определения собственных частот колебаний стержня [1].

• Распределим массы и жесткости по длине в соответствии с чертежом и вычислим взаимные податливости в полученной четырехмассовой систем. Воспользуемся для этого шаблоном [1] численного интегрирования дифференциальных уравнений прямого стержня. В рассматриваемом примере получаем следующие значения в м/Н, 1/Н·м.

  δ11	δ21	δ31	δ41	δ21	δ22	δ23	δ24
  1.87E-06	2.26E-06	1.28E-06	2.53E-09	2.26E-06	2.98E-06	1.84E-06	1.96E-09
  δ31	δ32	δ33	δ34	δ41	δ42	δ 43	δ44
  1.28E-06	1.84E-06	1.42E-06	-3.11E-10	2.53E-09	1.96E-09	-3.11E-10	1.55E-11

• Воспользуемся шаблоном, в котором формируется характеристический определитель [1]. В примере удается найти два положительных его корня 1/сек², 1/сек². Откуда вычисляем две низшие критические круговые частоты

;

критические обороты , т.е.

.

Расчет критической скорости вращения по методу допускаемых напряжений в диске

Для диска, выполненного заодно целое с валом, имеем максимальные напряжения при , т.е. .

Принимаем цикл нагружения пульсирующим, т.е. . Тогда

МПа.

Из условия получаем , .

Расчет допустимого размера трещины

Принимаем предельную скорость вращения . Тогда в указанной точке на поверхности диска нормальные напряжения

10,6 МПа, ,

и из равенства вычисляем критическую длину трещины

.

4. Круглые пластины

Задачу предлагается решать численным интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Реализация алгоритма аналогична задаче об изгибе стержня и предлагается построить его самостоятельно.

4.4.1 Алгоритм прямого счета напряжений в круглых пластинах

Параметры задачи:

• r, координата сечения, отмеряемая от центра пластины;

• t, толщина пластины;

• z, координата точки в сечении от срединной поверхности, ;

• w(r), перемещение срединной поверхности по оси z;

• θ(r), угол поворота нормали в радиальной плоскости;

• , давление на пластину;

• Q(r), поперечная сила в радиальной плоскости на единицу длины дуги;

• , изгибающий момент в радиальной плоскости на единицу длины дуги;

• , изгибающий момент в тангенциальной плоскости (касательной к окружности радиусом r) на единицу длины дуги;

• , нормальное напряжение в радиальной плоскости;

• , нормальное напряжение в тангенциальной плоскости.

Для описания задачи достаточно решить систему четырех линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:

(4.29)

, (4.30)

, (4.31)

. (4.32)

при соответствующих граничных условиях.

Примеры граничных условий приведены ниже.

После решения системы вычисляем

, (4.33)

(4.34)

(4.35)