7 Одномерные случайные величины

Рассмотрим пространство элементарных исходов  некоторого испытания. Функция , определенная на элементах  и ставящая каждому элементарному исходу  некоторое число , называется случайной величиной. Функция распределения случайной величины , определяется равенством

(7.1)

где х - действительное число (предполагается, что вероятность, стоящая справа в (7.1) определена при всех х). При решении задач часто используются следующие свойства функции распределения:

(7 .2)

(при а < b). Полезны также следующие равенства:

(7.3)

Случайная величина  называется дискретной если она принимает конечное или счетное число значений . Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения, который можно представить в виде таблицы

Значения	x1	x2	…
Вероятности	P1	P2	…

Для дискретной случайной величины выполняется равенство

(7.4)

Случайная величина  называется непрерывной, если существует неотрицательная функция , удовлетворяющая при всех х равенству

(7.5)

называется плотностью вероятности. Она обладает следующими свойствами:

(7.6)

(7.7)

(7.8)

Для непрерывной случайной величины  и числа квантиль порядка Q определяется, как число , удовлетворяющее уравнению

(7.9)

Для дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями Р₁, Р₂, ... математическое ожидание , определяется равенством

(7.10)

Для непрерывной случайной величины  , с плотностью распределения математическое ожидание определяется равенством

(7.11)

Дисперсия случайной величины  определяется равенством

(7.12)

справедливо также равенство

, (7.13)

из которого следуют формулы, удобные для вычисления дисперсии дискретных и непрерывных случайных величин:

(7.14)

(7.15)

Стандартное (или среднее квадратичное) отклонение случайной величины  определяется равенством

(7.16)