2.1.6. Прямая в пространстве.

2.1.5.1. Определение прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические и канонические уравнения прямой. Пусть в пространстве задан ненулевой вектор a(m, n, p) и точка М₀(x₀, y₀, z₀). Прямой, проходящей через точку М₀ в направлении вектора а называется геометрическое место точек М (x, y, z) пространства таких, что вектор коллинеарен вектору а.

Так как а ≠ 0, условие коллинеарности векторов и а имеет вид . Если r_М0 – радиус-вектор точки М₀, r_М – радиус-вектор точки М, то для любой точки М прямой выполняется , или

.

Это уравнение называется векторным уравнением прямой в пространстве. Вектор а называется направляющим вектором прямой.

Запишем векторное уравнение в координатной форме. r_М = xi + yj + zk,

r_М0 = x₀ i + y₀ j + z₀ k, a t = mti + ntj + ptk, поэтому

Эти уравнения называется параметрическими уравнением прямой в пространстве. Исключим из этих уравнений параметр t: . Уравнения

называется каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Прямая в пространстве может задаваться также как пересечение двух непараллельных плоскостей:

векторы N₁(A₁, B₁, C₁) и N₂(A₂, B₂, C₂) неколлинеарны. Система

называется общими уравнениями прямой. Для того, чтобы привести общие уравнения к каноническим или параметрическим уравнениям, необходимо найти какую-либо точку прямой и ее направляющий вектор. Для нахождения точки надо решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными; так как векторы N₁ и N₂ неколлинеарны, один из миноров матрицы отличен от нуля. Пусть, например, отличен от нуля минор . Задав значение у произвольно, находим х и z, точка (х, у, z) и будет точкой прямой. Направляющий вектор а находится как векторное произведение векторов N₁ и N₂: а = N₁ ^хN₁.

Примеры: 1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой

Здесь N₁ = (2, -3, 4), N₂ = (3, 2, -6), поэтому . Для нахождения точки, принадлежащей прямой, положим , z = 0 (минор ). Из системы находим х = 2, у = 1, следовательно, М₀ = (2, 1, 0). Канонические уравнения прямой: . Параметрические уравнения прямой:

2. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки М₁(x₁, y₁, z₁) и М₂(x₂, y₂, z₂).

Естественно, в качестве направляющего вектора в этом случае проще всего взять вектор М₁М₂(x₂ – x₁, у₂ – у₁, z ₂ – z ₁), в качестве точки прямой можно взять любую из точек М₁ или М₂. В результате канонические уравнения будут иметь вид , параметрические

2.1.5.2. Пучок плоскостей. Уравнение пучка плоскостей. Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через данную прямую l. Если прямая задана своим общим уравнением то уравнение любой плоскости пучка может быть получено в виде линейной комбинации уравнений плоскостей, определяющей прямую, т.е. в виде при подходящих значениях коэффициентов и . Уравнение при всевозможных неравных одновременно нулю значениях и называется уравнением пучка плоскостей.

Пример: найти уравнение плоскости, проходящей через прямую и проходящую через точку .

Решение: искомая площадь принадлежит пучку плоскостей, проходящих через прямую l, поэтому ее уравнение имеет вид при подходящих значениях и . Эта плоскость проходит через точку А, поэтому координаты точки должны удовлетворять уравнению: , или . Это равенство верно, если , , поэтому искомое уравнение имеет вид , или .

2.1.5.3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая l может быть параллельна плоскости (в частности, лежать в плоскости) и пересекаться с ней. Будем считать, что плоскость П задана своим общим уравнением

Ах + Ву + Сz + D = 0, прямая l – точкой M₀(х₀, у₀, z₀)и направляющим вектором а(m, n, p). l параллельна П тогда и только тогда, когда N a, поэтому условие параллельности прямой и плоскости состоит в том, что Аm + Вn + Сp + D = 0. Если, дополнительно, , т.е. выполняется Ах₀ + Ву₀ + Сz₀ + D = 0, то прямая лежит в плоскости.

Если Аm + Вn + Сp + D 0, то прямая и плоскость пересекаются. Для нахождения точки пересечения подставим параметрические выражения для х, у, z в уравнение плоскости: А(х₀ + mt) + В(y₀ + nt) + С(z₀ + pt) + D = 0 и найти значение параметра t, соответствующее точки пересечения: ; параметрические выражения для х, у, z при этом значении t дают координаты точки пересечения.

Угол между прямой и плоскостью (т.е. угол между прямой и ее проекцией на плоскость) связан с углом между прямой и нормалью к плоскости соотношением , поэтому . В частности, если векторы а и N коллинеарны, то прямая перпендикулярна плоскости.

2 .1.5.3. Взаимное расположение двух прямых. Две прямые могут быть компланарными (это означает, что существует плоскость, содержащая обе прямые) или скрещиваться (плоскости, содержащей обе прямые, не существует). В случае компланарности прямые могут совпадать, быть параллельными или пересекаться. Найдем условия, когда реализуется каждый из перечисленных случаев. Будем считать, что прямая l₁ задана своей точкой M₁(х₁, у₁, z₁) и направляющим вектором а₁(m₁, n₁, p₁), прямая l₂ задана своей точкой M₂(х₂, у₂, z₂) и направляющим вектором а₂(m₂, n, p₂).

Прямые компланарны тогда, и только тогда, когда компланарны векторы а₁, а₂ и М₁М₂. Таким образом, условие компланарности имеет вид

.

Если при этом векторы а₁и а₂ коллинеарны, т.е. , то прямые параллельны. Если, дополнительно, вектор М₁М₂ коллинеарен направляющим векторам, то прямые совпадают.

Если условие компланарности выполняется, но направляющие векторы неколлинеарны, то прямые пересекаются. Чтобы найти точку пересечения, надо решить систему уравнений

В этой системе три неизвестных (координаты точки пересечения х, у, z) и четыре уравнения, однако, если выполняются условия компланарности прямых и неколлинеарности направляющих векторов, она имеет единственное решение.

Если условие компланарности не выполняются, то прямые скрещиваются. Вектор, перпендикулярный одновременно и l₁, и l₂, находится как векторное произведение направляющих векторов а₁ и а₂: а = а₁ха₂. Расстояние между l₁ и l₂ находится как проекция вектора М₁М₂ на а: . В этом соотношении легко увидеть формулу для вычисления высоты параллелепипеда как частного объема и площади основания. Далее, для плоскости, содержащей l₁ и параллельной l₂, известна точка (М₁) и нормальный вектор (а), аналогично можно выписать уравнение плоскости, содержащей l₂ и параллельной l₁. Для того, чтобы найти уравнения прямой, перпендикулярной одновременно и l₁, и l₂, необходимо найти точку этой прямой (направляющий вектор этой прямой – вектор а). Для этого можно найти пересечение прямой l₂ с плоскостью, проходящей через l₁ и параллельной вектору а (уравнение этой плоскости записывается как условие компланарности векторов М₁М, а₁ и а, где М(х, у, z) – текущая точка этой плоскости).

Решение типовых задач.

Пример 1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Р₁(2, -3, 4) параллельно прямой .

Решение. Так как направляющий вектор а(3, 5, -2) данной прямой является направляющим вектором искомой прямой, то канонические уравнения искомой прямой таковы: . Параметрические уравнения имеют вид

Пример 2. Составить канонические и общие уравнения прямой, проходящей через точку

А(3, -5, 1) параллельно оси Oz.

Решение. Направляющий вектор прямой а равен орту k оси Oz: a = k = (0, 0, 1), поэтому канонические уравнения прямой имеют вид . Запишем два уравнения

. Тогда общие уравнения прямой имеют вид

Пример 3. В плоскости Oyz найти прямую, проходящую через точку Р₁(0, 2, -5) перпендикулярную прямой .

Решение. Так как прямая принадлежит плоскости Oyz, то направляющий вектор прямой и . Находим . Канонические уравнения прямой, проходящей через точку Р₁(0, 2, -5): .

Пример 4. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки Р₁(4, 3, -1) и Р₂(2, -3, 6).

Решение. В качестве направляющего векторы возьмем Р₁Р₂ = (-2, -6, 7), поэтому канонические уравнения прямой имеют вид . Параметрические уравнения:

Пример 5. Привести к каноническому виду общие уравнения прямой .

Решение. Запишем векторы нормалей к данным плоскостям: n₁(3, 2, -1), n₂(1, -4, 2). Находим направляющий вектор прямой: s = n₁xn₂ . За направляющий вектор прямой можно взять вектор, коллинеарный найденному: s(0, 1, 2). Найдём точку, принадлежащую прямой, положив y = 0. Решая систему , находим точку Р₁(-1, 0, -4). Kанонические уравнения прямой .

Пример 6. Найти косинус угла между прямыми и

Решение. Направляющий вектор первой прямой a₁(2, 1, 3). Векторы нормалей к плоскостям

N₁(5, 3, -1) и N₂(2, 1, 2). Найдём направляющий вектор второй прямой: . Косинус угла между прямыми .

Пример 7. Проверить, скрещиваются ли данные прямые и и найти расстояние между ними.

Решение. Нам известны направляющие векторы a₁(4, -3, 5) и a₂(1, 0, 2) данных прямых и точки Р₁(-3, 0, 2), Р₂(0, -1, 4), принадлежащие этим прямым, тогда вектор . Проверим выполнение условия некомпланарности: , следовательно, данные прямые скрещиваются.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведёнными через данные прямые. Вектор нормали n этих плоскостей перпендикулярен векторам a₁ и a₂, следовательно . Находим , следовательно n = -2i – j + k. Находим расстояние между прямыми.