
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
- •2.1.1. Декартова прямоугольная система координат.
- •2.1.2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
- •2.1.3. Основные задачи аналитической геометрии.
- •2.1.3.1. Две основные задачи аналитической геометрии.
- •2.1.4. Прямая на плоскости.
- •2.1.4.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •2.1.5. Плоскость в пространстве.
- •Решение типовых задач.
- •Задачи для самостоятельной работы.
- •2.1.6. Прямая в пространстве.
- •Задачи для самостоятельной работы.
Решение типовых задач.
Пример 1. Точка Р1(3, -2, 1) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки Р2(5, -5, -3) на плоскость. Составить уравнение плоскости.
Решение. Пусть текущая (переменная)
точка Р(x, y,
z) принадлежит данной
плоскости. Тогда вектор
принадлежит плоскости, а вектор
перпендикулярен плоскости. Условие
перпендикулярности дает векторное
уравнение плоскости:
,
или, в координатной форме, 2(х – 3) –
3(у + 2) – 4(z – 1) = 0,
или 2х – 3у – 4z
– 8 = 0.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(4, 1, -3), В(7, -1, 2) параллельно оси Oy.
Решение. Пусть переменная точка Р(x, y, z) принадлежит данной плоскости. Решим задачу двумя способами.
I способ. Вектор
принадлежит плоскости. Находим координаты
вектора
и орта j(0, 1, 0).
Вектор нормали к плоскости находим по
формуле:
.
Тогда уравнение плоскости имеет вид
-5(х – 4) + 3(z + 3) = 0, или 5х – 3z – 29 = 0.
II способ. Векторы
,
и орт j(0, 1, 0)
компланарны, следовательно, их смешанное
произведение равно нулю. Запишем в
векторной форме уравнение плоскости:
.
Тогда в координатной форме уравнение
плоскости имеет вид:
.
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р1(5, -2, 0) перпендикулярно к плоскостям 7х – 2y – 5 = 0 и 5х – 2y – z – 7 = 0.
Решение. Пусть текущая точка Р(x,
y, z)
принадлежит искомой плоскости. Вектор
и векторы нормалей n1(7,
-2, 0) и n2(5, -2, 1)
заданных плоскостей компланарны,
следовательно их смешанное произведение
равно нулю:
.
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р1(-1, 3, 2), Р2(1, 3, 1) перпендикулярно к плоскости 5х + 3y – 2z – 9 = 0.
Решение.
Пусть переменная точка Р(x,
y, z)
принадлежит искомой плоскости. Векторы
,
и
(вектор нормали заданной плоскости)
компланарны. Записывая условие
компланарности этих векторов, получим
в векторной форме уранение плоскости:
.
Запишем в координатной форме уравнение
плоскости:
3х
– y + 6z
– 6 = 0.
Пример 5. Найти расстояние от точки Р0(2, -1, -2) до плоскости, проходящей через точки Р1(2, 1, -3), Р2(5, -1, -2), Р3(1, 2, -1).
Решение. Пусть Р(x,
y, z)
- текущая точка искомой плоскости.
Векторы
,
,
компланарны. Уравнение плоскости:
5х
+ 7y – z
– 20 = 0.
Расстояние от точки Р0(2, -1, -2) до плоскости 5х + 7y – z – 20 = 0:
.
Пример 6. Убедиться, что плоскости 6х + 4y – 10z – 18 = 0 и 3х + 2y – 5z + 10 = 0 параллельны и найти расстояние между ними.
Решение. Заданные плоскости
параллельны, т.к.
.
Находим на плоскости 6х + 4y
– 10z – 18 = 0 точку,
положив у = 0, z = 0,
тогда 6х – 18 = 0, откуда х = 3. Найдём
расстояние от точки Р0(3, 0, 0)
до плоскости 3х + 2y
– 5z + 10 = 0:
.
Пример 7. Найти косинус угла между плоскостями 5х - y + 3z - 2 = 0 и 2х + 6y – 5z + 1 = 0.
Решение. Находим векторы нормалей
,
к заданным плоскостям.
.
Если требуется найти острый угол между
плоскостями, то
.
Задачи для самостоятельной работы.
1. Составить уравнение плоскости,
перпендикулярной вектору
и проходящий через точку С, если
А(-3, 5, -4), С(-1, 0, -1).
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(0, 1, 3) параллельно
плоскости 7х – y – 3z + 4 = 0.
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, 1, -3) параллельно векторам
а(2, 1, 0) и с(-1, -3, 2).
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р1(1, 3, 1) и Р2(2, 1, 4) перпендикулярно к плоскости 4х – 7y – 3z + 5 = 0.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку С(4, 6, -1).
6. Найти косинус угла между плоскостями 2х + 2y + z + 9 = 0 и 3х – 2y – 2z - 19 = 0.
7. Найти расстояние от точки Р(2, 0, -1) до плоскости 3y – 4z + 11 = 0.
8. Найти расстояние между параллельными плоскостями 3х–2y – z - 13=0 и 6х–4y – 2z + 15= 0.
9. Найти величины отрезков, отсекаемых на координатных осях плоскостью 2х–5y + 3z - 30 = 0.
10. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точки Р1(3,
-2, 5) и Р2(1, -3, 4) параллельно
вектору
.
11. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки Р1(1, 5, 6), Р2(2, 3, 1) ,
Р3(3, -1, 2).
12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(-1, 2, 0) перпендикулярно плоскостям х – y + 3z - 4 = 0 и 2х + y – 5z + 7 = 0.
13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Р1(2, -3, 3) и Р2(4, -2, 5) и отсекающей на оси аппликат отрезок с = 2.
14. Найти косинус угла между плоскостями 4х + 2y – z – 7 = 0 и 6х + 3z + 5 = 0.
15. Найти расстояние между параллельными плоскостями 2х – y + z – 10 = 0 и
4х – 2y + 2z – 15 = 0.
16. Вычислить расстояние от точки А(2, -1, 1) до плоскости, отсекающей от осей координат отрезки а = 2, b = -3, c = 1.