2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Повторим определения раздела 1.5.4.

2.1.1. Декартова прямоугольная система координат.

Совокупность точки О (начала координат) и ортонормированного базиса i, j, k, векторы которого отложены из точки О, называется декартовой прямоугольной системой координат в пространстве. Прямые Ох, Оу, Oz, проходящие через точку О в направлении базисных ортов, называются осями координат (осью абсцисс, осью ординат, осью аппликат). Пусть А – произвольная точка пространства. Вектор r_A = ОА = xi + yj + zk называется радиусом-вектором точки А, координаты этого вектора (x, y, z) (равные проекциям вектора на координатные оси) называются также координатами точки А (обозначение: А(x, y, z)).

Е сли вектор задан координатами своей начальной точки В₁(x₁, y₁, z₁) и конечной точки В₂(x₂, y₂, z₂), то координаты вектора равны разности координат конца и начала: (так как ).

В дальнейшем нам придется сдвигать систему координат на определенный вектор. Выясним, как при этом меняются координаты точек и векторов.

Параллельный перенос координат. Пусть новая система координат (O’, x’, y’, z’) получена из старой (O, x, y, z) сдвигом на вектор . Тогда

. Базисные орты в обеих системах одинаковы, поэтому координаты вектора есть координаты точки О’ в новой системе координат:

2.1.2. Простейшие задачи аналитической геометрии.

2.1.2.1. Расстояние между двумя точками (длина отрезка). Эту задачу мы уже рассматривали. Длина отрезка В₁В₂ (верхний рисунок) равна длине вектора, соединяющего эти точки, т.е.

.

2.1.2.2. Деление отрезка в данном отношении. Говорят, что точка М делит отрезок М₁М₂ в отношении , если . Найдем координаты точки М. На рисунке справа изображен отрезок и его проекция на ось Ох. Из подобия треугольников . Так же можно получить выражения для координат у, z. Окончательно, координаты точки, делящей отрезок в отношении , равны В частном случае , т.е. когда точка М – середина отрезка, получаем, что координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат концов:

2.1.2.3. Площадь треугольника. Пусть в пространстве треугольник задан координатами своих вершин: А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃). Тогда , , и площадь тр-ка ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах: . Если треугольник лежит в плоскости Оху, то z₁ = z₂ = z₃ = 0, то, раскрывая определитель по третьему столбцу, получим .

2.1.3. Основные задачи аналитической геометрии.

2.1.3.1. Геометрический смысл уравнений f(x, y) = 0 и F(x, y, z) =0.

Уравнение f(x, y) = 0 называется уравнением линии l на плоскости, если этому уравнению удовлетворяют координаты х, у всех точек М(х, у), лежащих на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки P(х, у), не лежащей на кривой:

f(x, y) = 0 М(х, у) l,

f(x, y) 0 М(х, у) l.

Уравнение F(x, y, z) = 0 называется уравнением поверхности в пространстве, если этому уравнению удовлетворяют координаты х, y, z всех точек М(х, у, z), лежащих на поверхности, и не удовлетворяют координаты ни одной точки P(х, у, z), не лежащей на поверхности:

F(x, y, z) = 0 М(х, у, z) ,

F(x, y, z) 0 М(х, у, z) .