2.3.5 Транспортна задача.
На станціях відправки
,
міститься однотипний товар, який потрібно
перевезти в пункти споживання
.
Відомо, що об’єм товару, який міститься
на кожній станції, рівний
,
відповідно, а потреба кожного споживача
рівна
.
Задано
,
– вартість перевезення одиниці вантажу
товару від постачальника (відправника)
,
до споживача
,
(див. табл. 2.7).
Таблиця 2.7 |
|
|
||||||||||||
Пункти відправлення |
Пункти призначення |
Запаси товару |
Таблиця 2.8 |
|||||||||||
B1 |
... |
Bj |
... |
Bn |
|
|
B1 |
... |
Bj |
... |
Bn |
|
||
A1 |
c11 |
... |
c1j |
... |
c1n |
a1 |
A1 |
x11 |
... |
x1j |
... |
x1n |
a1 |
|
A2 |
c21 |
... |
c2j |
... |
c2n |
a2 |
A2 |
x21 |
... |
x2j |
... |
x2n |
a2 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
Ai |
ci1 |
... |
cij |
... |
cin |
ai |
Ai |
xi1 |
... |
xij |
... |
xin |
ai |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
Am |
cm1 |
... |
cmj |
... |
cmn |
am |
Am |
xm1 |
... |
xmj |
... |
xmn |
am |
|
Потреби |
b1 |
... |
bj |
... |
bn |
|
|
b1 |
... |
bj |
... |
bn |
|
|
Потрібно скласти такий план перевезень (весь товар вивезений і всі пункти споживання задоволені), при якому загальна вартість перевезень буде мінімальною.
Позначимо через
,
кількість одиниць товару, які перевезені
з
в
(див табл. 2.8). Тоді математична, модель
транспортної задачі має вигляд:
серед розв’язків системи лінійних рівнянь
(2.16)
знайти такий, при якому лінійна форма
.
(2.17)
приймає найменше значення.
Розділ 3. канонічний вигляд задачі лінійного
програмування та деякі методи її розв’язання.
В загальному випадку задача лінійного
програмування формулюється наступним
чином: серед розв’язків
системи
лінійних рівнянь з
невідомими
(3.1)
де коефіцієнти
– задані постійні величини, знайти
такий, при якому цільова функція (лінійна
форма)
(3.3)
приймає максимальне значення.
Розв’язок
,
при якому функція
досягає максимуму, називається оптимальним
розв’язком або оптимальним
планом задачі.
Формулюючи загальну задачу лінійного програмування, виходимо з того, що оптимальний розв’язок єдиний, хоча на практиці можуть зустрічатися задачі, де єдиність порушується. (В подальшому цей частинний випадок будемо виділяти окремо).
Систему (3.1) можна записати в більш
компактній векторній формі: розглянемо
вектор в
-мірному
просторі
,
,
,
,
,
(3.4)
тоді (2.1) приймає вигляд:
.
(3.5)
Часто для системи обмежень (3.1) використовують матрично-векторний спосіб запису:
(3.6)
де
,
,
(3.7)
– відповідно матриця коефіцієнтів біля невідомих, вектор-стовпчик з невідомих та вектор-стовпчик з правих частин рівнянь системи обмежень.
Матрицю
називають матрицею системи або
основною матрицею системи обмежень
(2.1). Розглядають також матрицю
,
(3.8)
яку називають розширеною матрицею системи обмежень (3.1).
Якщо задача лінійного програмування записана у вигляді (3.1)–(3.3), то її називають канонічною.