III. Интегрирование по частям:
Если функции u=u(x)
и v=v(x)
имеют непрерывные производные на отрезке
[a;b], то имеет
место формула
(1)
Формула (1) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример 7. .
Вычислить интеграл
Решение : Применим формулу
интегрирования по частям. Предположим
По формуле (1) имеем:
II. Несобственный интеграл:
Пример 8. Вычислить несобственный
интеграл
или установить его расходимость.
Решение:
По определению несобственного интеграла
I рода имеем:
интеграл сходится и его величина равна
1.
Пример 9.
Исследовать сходимость несобственного
интеграла
Решение:
По определению несобственного интеграла I рода
интеграл расходится, т.к.
не существуют.
Пример 10. Вычислить несобственный
интеграл
Решение:
Подынтегральная функция f(x)
=
определена и непрерывна на всей числовой
оси. Кроме того, она является четной.
Следовательно,
Исходя из определения несобственного
интеграла, имеем
интеграл сходится. Следовательно,
исходный интеграл также сходится и
равен
.
Пример 11. Исследовать на сходимость
интеграл
Решение: Здесь
Поэтому, согласно признаку сравнения,
интеграл
расходится.
Пример 12. Исследовать на сходимость
интеграл
Решение: Здесь
А так как существует предел
Задачи на самостоятельную работу с ответами:
1). Найти интеграл тригонометрической
функции:
(Ответ:
);
(Ответ:
);
(Ответ: 1);
(Ответ:
).
2). Найти интеграл от рациональной дроби:
(Ответ:
);
(Ответ: 12 + 9ln3);
(Ответ:
arctg 0,08).
3). Вычислить интеграл:
(Ответ:
);
(Ответ:
).
4). При помощи замены переменной вычислить интеграл
(Ответ:
)
(Ответ:
)
(Ответ:
).
5). При помощи формулы интегрирования по частям вычислите интеграл:
(Ответ:
24 ln2 – 16);
(Ответ:
);
(Ответ:
).
6). Несобственный интеграл:
1. Найти значение несобственного интеграла или установить его расходимость:
(Ответ:
);
(Ответ:
);
(Ответ: расходится);
(Ответ:
расходится);
(Ответ:
расходится);
(Ответ:
расходится);
(Ответ:
расходится);
(Ответ:
расходится);
(Ответ:
).
Геометрическое приложение определенных интегралов.
Цель: Научить применять вычисление определенных интегралов при решении геометрических задач.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Прямоугольная С.К. |
Функция, задана параметрически |
Полярная С.К. |
Вычисление площадей плоских фигур |
||
|
|
|
Вычисление длины дуги плоской кривой |
||
|
|
|
Вычисление площади поверхности вращения |
||
|
|
|
Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным
площадям параллельных сечений:
Объем тела вращения:
;
.
Пример 1.
Найти площадь фигуры, ограниченной
кривой y=sin
x, прямыми
Решение: Находим площадь фигуры:
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение : Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений
Отсюда находим x1=0, x2=2,5.
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2=x3, y=8, x=0.
Решение : Для вычисления искомой площади
воспользуемся формулой
:
Заметим, что искомую площадь можно
найти, используя формулу
как
разность площадей прямоугольника ОАВС
и ОВС.
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой x=a cos3t, y=a sin3t.
Решение:
Воспользуемся симметрией фигуры и найдем сначала четвертую часть искомой площади.
Воспользуемся формулой
Находим, что
(из равенства 0=a
cos3t)
и t2=0 (из
равенства a=acos3t).
Имеем
Пример 5. Найти объем V пирамиды с площадью основания Q и высотой H.
Решение:
Направим ось Ox
перпендикулярно основанию пирамиды, а
начало координат совместим с вершиной
О данной пирамиды. На расстоянии
x от точки О проведем
поперечное сечение пирамиды. Его площадь
обозначим через S, она
является функцией от x:S=S(x).
Как известно, площади сечения (параллельного
основанию) и основания относятся как
квадраты их расстояний от вершины, т.е.
Отсюда
По формуле
находим
6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями x2+4y2=1, z=x (x≥0), z=0.
В результате пресечения эллиптического
цилиндра x2+4y2=1
плоскостями z=0
и z=x
получим тело, изображенное на рисунке
?. Сечение тела, перпендикулярное оси
Ох, проведенное на растоянии х от начала
координат представляет собой
прямоугольник ABCD.
Найдем его площадь S=S(x).
Высота(ширина) MN
прямоугольника равна х, т.е. |MN|=х
(в прямоугольном треугольнике NMO
угол NOM равен
).
Точка D(x;y)
лежит на эллипсе x2+4y2=1.
Значит,
т.е.
Следовательно,
т.е.
По формуле
находим
