1.11. Поняття границі послідовності і границі функції, властивості

Означення. Нехай кожному поставлено у відповідність деяке дійсне число , тобто розглядається функція натурального аргументу. У цьому випадку говорять, що задана послідовність дійсних чисел, яку записують у рядок у порядку зростання номерів або коротко: .

Означення. Число називається границею послідовності , якщо для кожного (навіть як завгодно малого) існує номер такий, що при всіх виконується нерівність:

.

Геометрично визначення границі означає, що починаючи з деякого номера, всі члени послідовності опиняться в інтервалі .

Якщо послідовність має границю, то говорять, що вона збігається, у противному випадку – розбігається.

Якщо , то величина називається нескінченно малою. Величина, обернена до нескінченно малої, є нескінченно великою:

.

Властивості:

1. Алгебраїчна сума скінченого числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

2. Добуток нескінченно малої на обмежену величину буде нескінченно малим.

Нехай функція задана на інтервалі .

Означення. Число називається границею функції в точці , якщо для кожного існує таке, що для всіх , що задовольняють умові виконується: .

Означення. Число називається правобічною (лівобічною) границею функції в точці , якщо для будь-якого числа існує таке, що для кожного виконується:

.

• (лівобічна границя);

• (правобічна границя).

Теорема. Функція має в точці границю тоді і тільки тоді, коли в цій точці існують правобічна і лівобічна границі і вони співпадають. У цьому випадку границя функції дорівнює однобічним границям.

Арифметичні дії над границями:

Якщо і , то справедливі твердження:

• ;

• ;

• , за умови, що .

Перша визначна границя:

. (1.11.1)

Друга визначна границя:

або . (1.11.2)

Розкриття деяких видів невизначеностей

Починати знаходження границі треба з підстановки у функцію граничного значення аргументу. При цьому можемо одержати невизначеності виду:

.

Невизначеність виду (у чисельнику і знаменнику – багаточлени). Приклади такого виду розв’язуються шляхом ділення чисельника і знаменника на старшу степінь змінної, при цьому:

а) якщо старша степінь чисельника дорівнює старшій степені знаменника, то границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях;

б) якщо старша степінь чисельника більше старшої степені знаменника, то границя дорівнює нескінченності;

в) якщо старша степінь чисельника менше старшої степені знаменника, то границя дорівнює нулю.

Приклад 1.11.1. Знайти границю .

Розв'язання.

(бо при ).

Приклад 1.11.2.Знайти границю .

Розв'язання.

(бо у границі одержали відношення скінченої до нескінченно малої).

Приклад 1.11.3. Знайти границю .

Розв'язання.

.

Невизначеність виду :

а) якщо у чисельнику і знаменнику стоять багаточлени, тоді потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники, з метою виділення критичного множника, тобто множника, що призводить до невизначеності;

б) якщо вираз містить ірраціональність у чисельнику або знаменнику (або і у чисельнику і у знаменнику), тоді границю знаходять шляхом помноження чисельника і знаменника на вираз, спряжений чисельнику (знаменнику або і чисельнику і знаменнику одночасно).

Приклад 1.11.4. Знайти границю .

Розв'язання.

.

Приклад 1.11.5. Знайти границю .

Розв'язання.

.

Приклад 1.11.6. Знайти границю .

Розв'язання.

.

Приклад 1.11.7. Знайти границю .

Розв'язання. Обчислимо, використовуючи першу визначну границю . Нехай , тоді . Якщо , то . Використовуючи цю заміну, маємо:

.

Приклад 1.11.8. Знайти границю .

Розв'язання. Використовуючи тригонометричне перетворення, маємо:

.

Приклад 1.11.9. Знайти границю .

Розв'язання. Використовуючи тригонометричні перетворення, маємо:

.

Невизначеність виду . Розкривається за допомогою другої визначної границі.

.

.

Приклад 1.11.10. Знайти границю .

Розв'язання.

.