1.10. Рівняння площини і прямої в просторі

Параметричне рівняння прямої в просторі, що проходить через точку і має напрямний вектор :

(1.10.1)

де параметр змінюється від до .

Канонічне рівняння прямої в просторі:

, (1.10.2)

Рівняння прямої, що проходить через дві точки і :

. (1.10.3)

При цьому . Якщо, наприклад, для всіх точок прямої, то маємо пряму перпендикулярну осі , яка перетинає її в точці .

Приклад 1.10.1. Написати рівняння прямої, що проходить через точки і , в канонічній і параметричній формі.

Розв’язання. За формулою (1.10.3) отримаємо

.

Запишемо параметричні рівняння прямої. Нехай , тоді де параметр .

Загальне рівняння площини в просторі

, (1.10.4)

де , якщо площина проходить через точку .

Розглянемо окремі випадки, коли коефіцієнти рівняння (1.10.4) дорівнюють нулю:

1. . Рівняння визначає площину, що проходить через початок координат.

2. . Рівняння визначає площину, паралельну осі , її нормаль перпендикулярна осі .

3. і . Рівняння визначає площину, що проходить через вісь .

4. і . Рівняння визначає площину, паралельну координатній площині , її нормаль перпендикулярна як осі , так і осі , а значить і площині. Площина перетинає координатну вісь у точці .

5. , і . Рівняння або визначає координатну площину , з нормаллю .

Аналогічно визначаються і площини, в рівняннях яких є інші коефіцієнти, які дорівнюють нулю.

Рівняння площини, що проходить через три точки , і :

. (1.10.5)

Рівняння площини у відрізках, що перетинає осі координат в точках , і :

, (1.10.6)

де і – відрізки, які площина відсікає від координатних осей , і , відповідно.

Приклад 1.10.2. Знайти рівняння прямих – перетинів площини з координатною площиною і координати точок перетину площини з координатною віссю .

Розв’язання. Перетин з координатною площиною : покладемо і підставимо в рівняння площини, тоді – рівняння прямої перетину координатної площини з площиною.

Перетин з координатною віссю : покладемо , і підставимо в рівняння площини, отримаємо . – точка перетину координатної осі з площиною.

Приклад 1.10.3. Укласти рівняння площини, що проходить через точки , и . Записати рівняння цієї площини у відрізках.

Розв’язання. За формулою (1.10.5) отримаємо

.

Запишемо рівняння цієї площини у відрізках. Розділимо рівняння на 16 і отримаємо: . Ця площина перетинає осі координат , , відповідно в точках: , , .

Кут між прямими і визначається за формулою

. (1.10.7)

Умова перпендикулярності прямих:

. (1.10.8)

Умова паралельності прямих:

. (1.10.9)

Кут між площинами і обчислюється за формулою

. (1.10.10)

Умова перпендикулярності площин

. (1.10.11)

Умова паралельності площин

. (1.10.12)

Якщо площини не паралельні, то вони перетинаються, їх перетином буде пряма.

Приклад 1.10.4. Визначити взаємне розташування двох площин, знайшовши кут між ними: і . Якщо площини перетинаються, то знайти рівняння прямої їх перетину.

Розв’язання. За умовою задачі і , тоді за формулою (1.10.11): , тому площини перпендикулярні.

Знайдемо рівняння прямої – перетину цих площин:

Нехай , тоді

Таким чином, одна з точок прямої перетину площин має координати .

Знайдемо напрямний вектор прямої :

.

Тоді параметричне рівняння прямої (1.10.1) має вид:

, , .

Кут між прямою заданою параметрично і площиною визначається формулою

. (1.10.13)

Відстань від довільної точки до площини

, (1.10.14)

Приклад 1.10.5. Знайти кут між прямою і площиною: і . Якщо вони перетинаються, то знайти координати точки перетину.

Розв’язання. Запишемо параметричне рівняння прямої. Нехай , тоді

Маємо і . Оскільки , то пряма і площина перетинаються. За формулою (1.10.13) знайдемо кут між прямою і площиною:

і .

Знайдемо координати точки перетину прямої і площини:

.

Підставимо значення параметра в рівняння прямої і отримаємо

Точка перетину прямої і площини має такі координати .

Приклад 1.10.6. Обчислити відстань від точки до площини .

Розв’язання. За формулою (1.10.14) отримаємо

.