1.9. Рівняння прямої на площині

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом – це рівняння виду

, (1.9.1)

де – кутовий коефіцієнт, який визначається як , де – кут між прямою і додатним напрямом осі , – величина відрізка, що відсікається прямою на осі : – якщо , то пряма перетинає вісь ординат вище початку координат; – якщо , то – нижче початку координат; – якщо , то пряма проходить через початок координат; – якщо і , то отримаємо рівняння прямої ; якщо , то – рівняння прямої паралельної осі абсцис, що проходить через точку ). – рівняння прямої, яка паралельна осі і проходить через точку .

Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямі (який визначається кутовим коефіцієнтом ), має вигляд

. (1.9.2)

Рівняння (1.9.2) ще називається рівнянням пучка прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки і :

. (1.9.3)

Параметричне рівняння прямої

(1.9.4)

де – параметр, що змінюється в межах . При одержуємо координати точки , а при – координати точки .

Рівняння прямої у відрізках

, (1.9.5)

де – величина відрізка, що відсікається прямою від осі , а – від осі .

Загальне рівняння прямої

, (1.9.6)

де і – числа, які одночасно не дорівнюють нулю.

Кожна пряма, яка задана рівнянням (1.9.6), ділить координатну площину на дві півплощини: точки першої півплощини є розв'язком нерівності , точки другої півплощини є розв'язком нерівності . Щоб визначити, яка з півплощин задовольняє нерівності , необхідно узяти координати будь-якої точки півплощини і перевірити знак нерівності. Якщо координати точки задовольняють нерівності, то і всі точки цієї півплощини є розв'язком нерівності.

Приклад 1.9.1. Знайти рівняння прямої, що проходить через дві точки і . Визначити її кутовий коефіцієнт.

Розв’язання. Підставимо координати точок в рівняння (1.9.3):

.

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої .

.

Кут між прямими і визначається за формулою

, (1.9.7)

де – кут, на який потрібно повернути першу пряму проти годинникової стрілки, щоб вона збіглася з другою прямою.

Умова паралельності прямих

. (1.9.8)

Умова перпендикулярності прямих

. (1.9.9)

Якщо прямі задати у загальному вигляді і , то:

- умова паралельності прямих заданих в загальному вигляді

або ; (1.9.10)

- умова перпендикулярності прямих заданих в загальному вигляді

або . (1.9.11)

Відстань від точки до прямої .

, (1.9.12)

де .

Приклад 1.9.2. Відомі координати вершин трикутника : , , . Знайти: а) рівняння прямої, що проходить через висоту, опущену з вершини ; б) рівняння прямої, що проходить через точку паралельно стороні ; в) знайти довжини висот трикутника, опущених з вершин і .

Розв’язання. а) Висота, опущена з вершини , перпендикулярна стороні трикутника. Знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки і : .

Висота перпендикулярна цій прямій, а значить кутовий коефіцієнт висоти . За формулою (1.9.2) запишемо рівняння висоти. Оскільки пряма проходить через точку , то .

б) Побудуємо рівняння прямої, що проходить через точки і : .

Оскільки пряма, що проходить через точку , паралельна прямій , то . За формулою (1.9.2) запишемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , яка проходить через точку :

.

в) Знайти довжину висоти, опущеної з вершини на сторону трикутника – це значить знайти відстань від точки до прямої .

Так як координати точки , а пряма описується рівнянням , то за формулою (1.9.12) отримаємо .

Аналогічно, .

Приклад 1.9.3. Знайти кут між прямими і .

Розв’язання. Перетворимо рівняння: і .

Так як , то ці прямі перпендикулярні, а значить .