1.8. Скалярний, векторний, змішаний добутки векторів, їх властивості та вираз через координати

Означення. Радіус-вектором точки називається вектор , початок якого співпадає з початком координат, а кінець знаходиться в точці (рис. 1.1).

Означення. Декартовими прямокутними координатами вектора називаються його проекції на координатні осі , , : ; ; .

Означення. Одиничні вектори координатних осей (рис. 1.1) - взаємно перпендикулярні ( ) і їх довжини дорівнюють одиниці ( ), їх називають ортами. В координатній формі їх можна записати у вигляді :

; ; .

Рис. 1.1 - Одиничні вектори декартових прямокутних координатних осей

Вектор можна виразити через вектори за правилом паралелепіпеда, як показано на рис. 1.1:

. (1.8.1)

Довжину вектора можна виразити через його координати за формулою

. (1.8.2)

Щоб знайти координати довільного вектора , потрібно із координат його кінця відняти координати початку :

, (1.8.3)

Довжину вектора можна знайти за формулою

. (1.8.4)

Відстань між точками завжди більше нуля. При цьому .

Основні лінійні операції над векторами.

1. Якщо вектор помножити на число , то отримаємо вектор з координатами .

Таким чином, якщо вектори і колінеарні, то їх координати зв'язані співвідношеннями

. (1.8.5)

2. Якщо додати вектор до , то отримаємо вектор з координатами .

3. Якщо від вектора відняти вектор , то отримаємо вектор з координатами .

Приклад 1.8.1. В трикутнику з вершинами , і знайти: а) довжини сторін трикутника; б) використовуючи координатне представлення векторів , і , перевірити правильність співвідношень: і .

Розв’язання. а) Знайдемо координати векторів , і за формулою (1.8.3):

; ;

.

За формулою (1.8.4) знайдемо довжини цих векторів:

; ;

.

Справедлива нерівність : .

б) За правилом додавання векторів:

.

За правилом віднімання векторів:

.

Таким чином, обидва співвідношення (правила додавання і віднімання векторів) вірні.

Означення. Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток двох векторів і позначається як і згідно означення

, (1.8.6)

де – кут між векторами і .

Скалярний добуток двох векторів і , заданих у координатній формі, дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів

. (1.8.7)

Косинус кута між векторами і визначається за формулою

. (1.8.8)

Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів і :

. (1.8.9)

Приклад 1.8.2. Знайти кути трикутника з вершинами, , і .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів і , що виходять з вершини : і .

Тоді ; ; . За формулою (1.8.9) знайдемо і .

Відповідно: і .

Приклад 1.8.3. Знайти параметр , при якому вектори і перпендикулярні.

Розв’язання. За умовою вектори перпендикулярні, тому з формули (1.8.7) отримаємо

.

Приклад 1.8.4. Вектор виходить з точки . Знайти координати точки , якщо відомо, що вектор паралельний вектору .

Розв’язання. Так як , то за умовою колінеарності векторів (1.8.5) отримаємо

Таким чином, координати точки .

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що позначається як і задовольняє умовам:

1) , де – кут між векторами і ;

2) вектор перпендикулярний векторам і ;

3) вектори , і утворюють праву трійку векторів (рис. 1.2).

Векторний добуток двох векторів і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою

. (1.8.10)

Рис. 1.2 - Геометричний зміст векторного добутку векторів

Приклад 1.8.5. Знайти векторний добуток векторів: і .

Розв’язання. За формулою (1.8.10):

.

Приклад 1.8.6. Знайти площу трикутника з вершинами , і .

Розв’язання. Розглянемо вектори і , що мають спільну вершину : і . Тоді площу трикутника можна знайти за формулою . Знайдемо

,

.

Тоді площа трикутника .

Означення. Якщо вектор помножити векторно на та векторний добуток помножити скалярно на , то в результаті отримаємо число, яке називається мішаним добутком трьох векторів , і . При цьому справедлива рівність .

Мішаний добуток трьох векторів , і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою

. (1.8.11)