Властивості множення матриць

1. ;	3. ;
2. ;	4. .

Приклад 1.2.1. Обчислити добуток матриць і , де , .

Розв'язання. Множення цих матриць визначено, тому що число стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці (дорівнює 2). Відповідно до формули (1.1.9) обчислимо елементи першого рядка матриці :

;

;

;

.

Аналогічно обчислюються елементи другого та третього рядків матриці , яка в результаті отримає вигляд (перевірити самостійно)

.

Означення. Матриця називається цілим додатним степенем квадратної матриці , яку отримують добутком матриць, рівних , тобто

(1.1.10)

Означення. Матриця називається транспонованою до матриці , якщо рядки однієї матриці замінити стовпцями другої, тобто

, (1.1.11)

1.2. Визначники квадратних матриць

Визначники матриць часто вживаються при розв’язанні задач у багатьох розділах вищої математики, наприклад, в лінійній алгебрі при розв’язанні систем лінійних рівнянь, в аналітичній геометрії при обчисленні площі трикутника в декартовій системі координат і так далі.

Означення. Визначник – це число, яке обчислюється за певним правилом. Визначник матриці називають також детермінантом і позначають , або , а замість круглих дужок використовують вертикальні лінії, наприклад:

, . (1.2.1)

Означення. Визначником матриці першого порядку називається число, яке дорівнює елементу :

.

Наприклад, для матриці визначник дорівнює .

Означення. Визначником матриці другого порядку називається число, яке обчислюється за формулою

. (1.2.2)

Означення. Визначником матриці третього порядку називається число, яке обчислюється за формулою

(1.2.3)

Приклад 1.2.1. Обчислити визначник матриці другого порядку

.

Розв’язання.

Приклад 1.2.2. Обчислити визначник матриці третього порядку

.

Розв’язання.

Властивості визначників

1. При транспортуванні матриці значення її визначника не змінюється.

2. При перестановці двох рядків (стовпців) матриці знак її визначника змінюється на протилежний, а його абсолютне значення не змінюється.

3. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) матриці містять загальний множник, то його можна виносити за знак визначника.

4. Визначник, що має два однакові рядки (стовпці), дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) матриці дорівнюють нулю, то її визначник дорівнює нулю.

6. Якщо кожен елемент деякого рядка (стовпця) матриці є сумою двох доданків, то її визначник можна обчислити, як суму

7. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (стовпця) помножені на деяке число.

8. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку визначників цих матриць.

Деякі правила обчислення визначників

1. Правило трикутника.

Наведене правило обчислення визначників третього порядку (1.2.3) називається правилом трикутника. Його можна представити наступною схемою:

(1.2.4)

Необхідно запам’ятати, що для добутків елементів, які розташовані на головній діагоналі та на паралелях до головної діагоналі, з додаванням третього множника з протилежного кута таблиці, знак не змінюється; для добутків елементів, які розташовані на побічній діагоналі та на паралелях до побічної діагоналі, з додаванням третього множника з протилежного кута таблиці, знак змінюється на протилежний.

2. Правило Сарюса.

Перший та другий стовпці треба виписати праворуч від визначника і перемножити елементи, що стоять на головних і побічних діагоналях:

(1.2.5)

3. Обчислення визначника за елементами будь-якого рядка або стовпця.

Теорема Лапласа. Визначник - го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення, тобто

,

де – алгебраїчне доповнення елемента .

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента матриці - го порядку називається число

, (1.2.6)

де – мінор елемента .

Означення. Мінором елемента матриці - го порядку називається визначник матриці -го порядку, отриманий з матриці після викреслювання -го рядка та -го стовпця.

Зауваження. Алгебраїчне доповнення збігається з мінором, коли сума номерів рядка та стовпця ( ) є парним числом, і відрізняється від мінору знаком, коли сума ( ) є непарним числом.

Зауваження. Якщо всі елементи -го рядка ( -го стовпця) визначника матриці , крім одного , дорівнюють нулю, то визначник дорівнює добутку цього ненульового елемента на його алгебраїчне доповнення , тобто . Це важливе зауваження використовують при обчисленні визначників.

Приклад 1.2.3. Обчислити визначник матриці третього порядку, використовуючи: а) правило трикутника; б) правило Сарюса; в) за елементами першого стовпця.

Розв’язання

а)

;

б)

;

в)

.

Приклад 1.2.4. Знайти мінори та алгебраїчні доповнення елементів визначника .

Розв’язання. За визначенням мінору елемента , маємо

, , .

За визначенням алгебраїчного доповнення

, , .