Порівняння рядів з додатними членами

Нехай задані два ряди з додатними членами:

(2.11.1)

(2.11.2)

1. :якщо і ряд (2.11.2) збігається, то і ряд (2.11.1) є збіжним;

2. якщо і ряд (2.11.2) розбігається, то розбігається і ряд (2.11.1).

Приклад 2.11.4. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Порівняємо даний ряд з рядом , члени якого, починаючи із другого, утворюють геометричну прогресію із знаменником . Сума цього ряду дорівнює , тобто він збіжний. Кожен член вихідного ряду менше відповідних членів ряду .

Таким чином, вихідний ряд збігається, причому його сума не перевершує .

Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца

Якщо в знакопочережному ряді:

,

члени такі, що і , тоді ряд збігається, його сума додатна і не перевершує першого члена.

Приклад 2.11.5. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

1. – кожен член ряду за модулем менше попереднього;

2. , таким чином за ознакою Лейбніца ряд збігається.

2.12. Степеневі ряди. Інтервал збіжності

Означення. Степеневим рядом називають ряд виду:

,

де – сталі числа (коефіцієнти ряду).

Інтервал збіжності степеневого ряду можна знаходити за допомогою ознаки Даламбера, тобто знаходимо . Відомо, що ряд збігається при , розбігається при , а при необхідні додаткові дослідження.

Приклад 2.12.1. Визначити інтервал збіжності ряду .

Розв’язання. Випишемо , , тоді:

.

Таким чином, ряд збігається при будь-яких .

Приклад. 2.12.2. Визначити інтервал збіжності ряду .

Розв’язання. Випишемо -ий і -ий члени ряду:

тоді:

.

Ряд буде збіжним, якщо . Звідси , тобто вихідний ряд збігається на інтервалі .