2. 9. Диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Лінійне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами має вигляд:

(2.9.1)

де – деякі дійсні числа, – деяка функція. Ми будемо розглядати однорідні рівняння ( ), тобто рівняння виду

(2.9.2)

Розглянемо розв’язок лінійного однорідного рівняння із сталими коефіцієнтами.

Для знаходження загального розв’язка однорідного рівняння виписуємо його характеристичне рівняння:

.

Знаходимо його корені. При цьому, якщо:

1. Корні дійсні і різні, тобто , тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:

(2.9.3)

2. Корні дійсні і кратні, тобто , тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд:

(2.9.4)

3. Корні комплексні, тобто , тоді загальний розв’язок має вигляд:

(2.9.5)

Приклад 2.9.1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння .

Розв’язання. Запишемо і вирішимо характеристичне рівняння:

, .

Тоді загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:

.

Приклад 2.9.2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Розв’язання. – корні кратні, дійсні – загальний розв’язок.

2.10. Числові ряди Основні поняття

Означення. Нехай задана нескінченна послідовність чисел , тоді вираз

називається числовим рядом. При цьому числа називаються членами ряду.

Означення. Ряд називається збіжним, якщо сума його перших членів при прямує до скінченної границі : . Число називається сумою збіжного ряду. Не збіжний ряд називається розбіжним.

Необхідна ознака збіжності ряду. Якщо ряд збігається, то його -й член прямує до нуля при необмеженому зростанні , тобто

.

Зауваження Виконання необхідної ознаки збіжності не говорить про те, що ряд збіжний. Це потрібно визначити за допомогою однієї з достатніх ознак.

2.11. Достатні ознаки збіжності ряда Ознака Даламбера

Якщо в ряді з додатними членами відношення -го члена до -го при має границю , тобто

,

тоді:

1. ряд збігається у випадку ,

2. ряд розбігається у випадку ,

3. питання залишається невирішеним у випадку .

Приклад 2.11.1. Дослідити збіжність ряду .

Розв’язання. , .

Тоді:

;

таким чином, даний ряд збігається.

Радикальна ознака Коші

Якщо для ряду з додатними членами:

,

величина при має границю , тобто:

,

тоді:

1. ряд збігається у випадку ;

2. ряд розбігається у випадку ;

3. питання залишається невирішеним у випадку .

Приклад 2.11.2. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання.

,

тоді:

.

Таким чином, ряд розбігається.

Інтегральна ознака збіжності ряду

Нехай члени ряду додатні і не зростають, а – така неперервна не зростаюча функція, що:

.

Тоді:

1. ряд збігається, якщо невласний інтеграл збігається (дорівнює скінченому числу);

2. ряд розбігається, якщо невласний інтеграл розбігається, тобто дорівнює , або він не існує.

Приклад 2.11.3. Дослідити збіжність ряду .

Розв’язання. Застосуємо інтегральну ознаку, поклавши . Ця функція задовольняє всім умовам ознаки.

Розглянемо інтеграл.

тобто для випадку :

інтеграл збігається ряд збігається.

Для випадку :

інтеграл розбігається ряд розбігається.

Для випадку інтеграл розбігається ряд розбігається.