2.7. Диференціальні рівняння першого порядку

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв'язує шукану функцію однієї змінної і похідні різних порядків даної функції.

У загальному випадку диференціальне рівняння можна записати у вигляді:

(2.7.1)

при цьому порядок старшої похідної, що входить у запис рівняння, називається порядком диференціального рівняння.

Означення. Розв’язком диференціального рівняння (2.7.1) називається така функція , яка при підстановці це рівняння перетворює його на тотожність.

Графік розв’язка диференціального рівняння називається інтегральною кривою.

Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння (2.7.1) -го порядку є розв’язок виду:

(2.7.2)

який є функцією змінної і довільних незалежних сталих . (Незалежність сталих означає відсутність будь-яких співвідношень між ними).

Означення. Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, що одержаний із загального розв’язка, при деяких конкретних числових значеннях сталих .

До диференціальних рівнянь призводять багато задач економіки, фізики, біології, екології і т.п.

Означення. Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням зі змінними, що розділяються, якщо воно може бути представлене у вигляді:

(2 7.3)

або у вигляді:

(2.7.4)

де – деякі функції змінної ; – функції змінної .

Для розв’язання такого рівняння його варто перетворити до виду, у якому диференціал і функції змінної виявляться в одній частині рівності, а змінної – в іншій. Потім проінтегрувати обидві частини отриманої рівності.

Приклад 2.7.1. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

.

Помножимо обидві частини рівності на .

.

Розділимо обидві частини отриманої рівності на .

;

; ; ; .

2.8. Однорідні і лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Означення. Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо воно може бути представлене у вигляді:

, (2.8.1)

де – деяка функція (однієї змінної).

Поняття однорідного диференціального рівняння пов'язане з однорідними функціями.

Означення. Функція називається однорідною степені , якщо для довільного числа виконується рівність:

Однорідні рівняння за допомогою підстановки приводяться до рівнянь зі змінними, що розділяються.

Приклад 2.8.1. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання. Через те, що , рівняння має вигляд (2.8.1) при . Нехай , звідси і . підставимо в перетворене рівняння:

,

.

Одержимо рівняння зі змінними, що розділяються:

.

Розділимо обидві частини рівності на і помножимо на ( , тобто , але слід зазначити, що є рішенням вихідного рівняння).

.

Інтегруючи останню рівність, одержуємо:

,

,

.

Повертаючись до початкових змінних, одержимо:

, звідки

( при одержуємо розв’язок диференціального рівняння ).

Означення. Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд:

(2.8.2)

де й – деякі (неперервні) функції змінної .

Розглянемо один з можливих способів розв’язання рівняння: будемо шукати рішення у вигляді , тим самим шуканими стають функції і , одна з яких може бути обрана довільно, а інша – повинна визначатися з рівняння (2.8.2). Тобто використовується в рішенні заміна .

Приклад 2.8.2. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання. Розділивши ліву і праву частини на приходимо до лінійного неоднорідного рівняння:

.

Нехай , , тоді рівняння прийме вид:

або .

Користуючись тим, що одну з допоміжних функцій (наприклад ) можна вибрати довільно, підберемо її так, щоб вираження в дужках обернулося в нуль, тобто в якості візьмемо одне із частинних рішень рівняння зі змінними, що розділяються.

або ; звідки: .

Якщо проінтегруємо обидві частини рівності, знайдемо частинне рішення цього рівняння, наприклад, при , звідки .

При вихідне рівняння звернеться в рівняння:

або .

Розв’язуючи це рівняння зі змінними, що розділяються, одержуємо . Тоді остаточно маємо:

.