Метод невизначених коефіцієнтів

Через те, що інтегрування багаточлена не представляє труднощів, то досить навчитися інтегрувати правильні раціональні дроби. Сформульована нижче теорема дозволяє звести інтегрування будь-якого правильного раціонального дробу до інтегрування елементарних дробів.

Теорема. Якщо – правильний раціональний дріб, знаменник якого представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних множників (з дійсними коефіцієнтами):

(2.4.1)

то цей дріб може бути розкладений на елементарні дроби за наступною схемою:

(2.4.2)

де – деякі дійсні числа.

На практиці розкладання конкретного правильного раціонального дробу на суму елементарних дробів зазвичай роблять методом невизначених коефіцієнтів. Для цього:

• розкладають знаменник на добуток лінійних і квадратичних множників;

• записують розкладання дробу за схемою (2.4.2) з невизначеними коефіцієнтами;

• приводять елементарні дроби до загального знаменника ;

• прирівнюють багаточлен, що утворився у чисельнику, до багаточлена .

Для того щоб два багаточлени були тотожно рівні, необхідно й достатньо, щоб коефіцієнти при однакових степенях у них були рівні. З огляду на це зауваження, прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях у лівій і правій частинах рівності, одержуючи тим самим систему алгебраїчних рівнянь для знаходження невизначених коефіцієнтів.

Приклад 2.4.1. Знайти інтеграли а) ; б) .

Розв’язання.

а) Розкладемо підінтегральний вираз за схемою (2.4.2) з невизначеними коефіцієнтами

.

Звідси:

. (*)

Перепишемо тотожність (*) у вигляді:

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержимо:

.

Отже:

.

б) Розкладемо підінтегральний вираз за схемою (2.4.2) з невизначеними коефіцієнтами

;

;

;

;

, тобто .

Таким чином: , і .

Отже:

.

2.5. Інтегрування тригонометричних виразів

Розглянемо інтеграл наступного виду:

.

1. Якщо (непарне), тоді записують:

і роблять заміну ;

2. Якщо (непарне), тоді записують:

і роблять заміну ;

3. Якщо і – парні, то перетворення проводять за допомогою формул :

, , ;

4. Якщо і – цілі від’ємні числа однакової парності ( , ), тоді припускають:

і роблять заміну .

Інтеграли виду:

, , ,

обчислюються за допомогою формул:

;

;

.

При інтегруванні тригонометричних виразів також застосовують універсальну підстановку .

Приклад 2.5.1. Знайти невизначені інтеграли: а) ;

б) ; в) ;

Розв’язання. а)

;

б)

;

в)

.

2.6. Невласні інтеграли

Розрізняють невласні інтеграли I– го і II– го роду.

Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним інтервалом інтегрування (або , або ), які визначаються формулами:

; (2.6.1)

; (2.6.2)

, (2.6.3)

Невласні інтеграли можуть мати як скінченне, так і нескінченне значення. Якщо границі не існують або дорівнюють нескінченності, то невласні інтеграли називаються тими, що розбігаються.

Приклад 2.6.1. Дослідити на збіжність інтеграли:

а) ; б) .

Розв’язання. а)

. Інтеграл збігається і його значення дорівнює 1;

б)

.

Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається.

Невласним інтегралом II–го роду від функції на за умови, що має розрив другого роду при називається інтеграл, що визначається за формулою

, (2.6.4)

де , .

Інтеграл (2.6.4) збігається, якщо границі в (2.6.4) скінчені і існують. В протилежному випадку інтеграл є таким, що розбігається.

Якщо підінтегральна функція має розрив II–го роду в точках або , то відповідні інтеграли II–го роду мають вид:

, (2.6.5)

. (2.6.6)

Приклад 2.6.2. Дослідити на збіжність інтеграли: а) ; б) .

Розв’язання. а) .

Інтеграл збігається;

б)

.

Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається.