Властивості визначеного інтеграла

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. Якщо постійна, то ;

6. .

2.3. Основні методи інтегрування

Основними методами інтегрування є безпосереднє інтегрування за допомогою основних властивостей невизначеного і визначеного інтеграла і таблиці інтегралів, метод підстановки (заміни змінної) і інтегрування частинами.

Метод безпосереднього інтегрування. Метод полягає в тому, що за допомогою алгебраїчних перетворень підінтегральна функція приводиться до табличної або до їх суми.

Приклад 2.3.1. Знайти інтеграли а) ; б) ;

в) .

Розв’язання.

а) .

б)

.

в) .

Метод підстановки. У багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дозволяє звести знаходження даного інтеграла до знаходження табличного інтеграла або інтеграла, що береться тим або іншим відомим прийомом. Такий метод називається методом підстановки або методом заміни змінної.

Розглянемо функцію , де , тоді:

(2.3.1)

Формула (2.3.1) називається формулою заміни змінної в невизначеному інтегралі.

Після знаходження інтеграла треба замість підставити його вираз через . У визначеному інтегралі повернення до змінної не обов'язкова, але в цьому випадку при заміні змінної необхідно змінити межі інтегрування, тобто скористатися формулою:

.

Приклад 2.3.2. Знайти інтеграли а) ; б) ; в) .

Розв’язання.

а) Позначимо , тоді й, отже, .

.

б) .

в) .

У наведених вище прикладах метод заміни змінної швидко привів до розв’язку. Однак вдалий вибір нової змінної зазвичай представляє певні труднощі, для успішного подолання яких необхідно добре володіти технікою диференціювання, уміти «прикидати», що дасть та або інша підстановка, і твердо знати табличні інтеграли.

Інтегрування частинами. Нехай функції і неперервно диференційовані на деякому проміжку, тоді:

. (2.3.2)

Формулу (2.3.2) зазвичай записують у вигляді:

. (2.3.2*)

Для визначеного інтеграла вона така:

.

Ці формули називаються формулами інтегрування частинами. Вірніше було б назвати їх формулами часткового інтегрування. При відомих і вони зводять знаходження інтеграла від до знаходження інтеграла від . При цьому варто враховувати, що за приймається функція, що диференціюванням спрощується, а за – та частина підінтегрального виразу, що містить , інтеграл від якої відомий або може бути знайдений.

Так, при обчисленні інтегралів виду , , за варто прийняти багаточлен , а за – відповідно вираз – , , .

При обчисленні інтегралів виду , , за варто прийняти вираз , а за – відповідно функції , , .

Приклад 2.3.3. Знайти інтеграли а) ; б) ; в) ; г) .

Розв’язання.

а) Нехай . Тоді і, виходить, за формулою (2.3.2*). .

б) .

в)

.

Формулу інтегрування частинами застосували двічі.

г)

.

2.4. Інтегрування раціональних функцій

Раціональною функцією називається дріб виду , де і – цілі багаточлени.

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь нижче степені , у противному випадку дріб називається неправильним.

Якщо дріб неправильний, то шляхом ділення чисельника на знаменник за правилом ділення багаточленів варто виділити цілу частину і правильний дріб. Тому будемо розглядати інтегрування правильних дробів, оскільки інтегрування цілої частини не викликає труднощів.