2.1. Невизначений інтеграл, властивості

Означення. Функція називається первісною функцією для функції на проміжку , якщо в кожній точці цього проміжку .

Означення. Сукупність всіх первісних для функції на проміжку називається невизначеним інтегралом від функції і позначається . Таким чином:

,

де – деяка первісна для , с – довільна стала.

Зокрема: .

Властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції, тобто:

.

Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, тобто:

.

2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цієї функції з точністю до довільної постійної, тобто:

.

3. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла, тобто:

,

де – деяке число.

4. Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:

.

5. Якщо чисельник підінтегрального дробу є похідна від знаменника, то інтеграл дорівнює логарифму модуля знаменника:

.

Таблиця інтегралів від основних елементарних функцій

;	;
;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	.

2.2. Визначений інтеграл, властивості

Якщо – первісна функція від , тобто , то .

Ця формула обчислення визначеного інтеграла називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Геометричний зміст. Якщо функція неперервна на відрізку і усередині цього відрізка всюди не від’ємна, то визначений інтеграл в декартовій системі координат визначає площу криволінійної трапеції (див. рис. 2.1), обмеженої графіком підінтегральної функції , віссю і двома прямими .

0

Рис. 2.1 – Геометричний зміст визначеного інтеграла