1.13. Застосування диференціального числення до дослідження функцій однієї змінної

Теорема. Якщо похідна диференційованої функції додатна (від’ємна) усередині деякого проміжку , то функція зростає (спадає) на цьому проміжку.

Практичне знаходження проміжків монотонності функції

Нехай функція задана на . Відмітимо на точки, у яких або , або не існує. Нехай це точки , , занумеровані в порядку зростання. На кожному з інтервалів похідна неперервна і зберігає знак, що збігається зі знаком , де – обрана для зручності обчислень точка цього інтервалу. Отже, на кожному із цих інтервалів зростає при або спадає при .

Приклад 1.13.1. Знайти інтервали монотонності функції .

Розв’язання.

Маємо . Очевидно, при і при , тому що:

.

– +

2

Тобто функція спадає на інтервалі і зростає на інтервалі .

Приклад 1.13.2. Знайти інтервали монотонності функції .

Розв’язання.

Знаходимо першу похідну функції:

.

у точках , . Наносимо точки на числову пряму.

+ _ +

о

-2 -1 0

У проміжках функція зростає; а в проміжках – спадає (точку необхідно виключити, тому що функція в цій точці не існує).

Екстремуми функції

Означення. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо в деякому околі точки виконується нерівність .

Означення. Значення функції в точці називається відповідно максимумом (мінімумом) функції. Максимум і мінімум функції поєднуються загальною назвою екстремуму функції.

Екстремум функції часто називають локальним екстремумом, підкреслюючи той факт, що поняття екстремуму зв'язане лише з досить малим околом точки . Так що на одному проміжку функція може мати декілька екстремумів, причому може статися, що мінімум в одній точці більше максимуму в іншій.

Необхідна умова екстремуму: Для того щоб функція мала екстремум у точці , необхідно, щоб її похідна в цій точці дорівнювала нулю або не існувала.

Точки, у яких виконується необхідна умова екстремуму, тобто похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними (або стаціонарними).

Дуже важливо зазначити, що зворотне твердження невірно. Критична точка зовсім не обов'язково є точкою екстремуму.

Перша достатня умова екстремуму: якщо при переході через критичну точку похідна функції змінює свій знак з плюса на мінус, тоді є точкою максимуму, а якщо з мінуса на плюс, тоді є точкою мінімуму.

Схема дослідження функції на екстремум

1. Знайти ОДЗ функції .

2. Знайти похідну .

3. Знайти критичні точки функції, у яких похідна або не існує.

4. Дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від кожної критичної точки і зробити висновок про наявність екстремумів функції.

5. Знайти екстремуми (екстремальні значення) функції.

○ Приклад 1.13.3. Знайти екстремум функції .

Розв’язання. Знайдемо .

і .

Точки і розбивають область визначення на інтервали , і .

Знайдемо інтервали зростання:

;

Знайдемо інтервали спадання:

.

Таким чином, похідна функції змінює знак з «–» на «+» при переході через точку і з «+» на «–» при переході через точку . Отже, – точка мінімуму, а – точка максимуму; і .

Всі обчислення можна звести у таблицю:

	–	0	+	0	–
		min, -24		max, 38,5

Друга достатня умова екстремуму: якщо перша похідна двічі диференційованої функції дорівнює нулю в деякій точці , а друга похідна в цій точці додатна, тобто точка мінімуму функції ; якщо від’ємна, тоді – точка максимуму функції .

Схема дослідження на екстремум функції за допомогою другої достатньої умови в цілому аналогічна схемі, наведеній вище.