1.12. Диференціальне числення функцій однієї змінної Поняття похідної, її властивості
Означення. Нехай
задана на інтервалі
.
Візьмемо деяку точку
і додамо їй приріст
так, щоб
.
Якщо існує скінчена границя
,
то її називають похідною функції
в точці
.
Якщо така границя існує в кожній точці
,
то вона називається похідною від функції
на
.
Операція знаходження похідної від
функції
називається диференціюванням.
Для позначення похідної в точці
використовуються символи:
.
Правила диференціювання:
1. Якщо функції
і
диференційовані в точці
,
то в точці
диференційовані і функції
,
,
,
,
та справедливі формули:
;
;
;
.
2. Якщо
диференційована в точці
,
тоді складна функція
диференційована в точці
і справедлива формула:
,
тобто
похідна складної функції
дорівнює добутку похідної зовнішньої
функції
на похідну внутрішньої функції
.
Зауваження. Правило знаходження
похідної складної функції поширюється
на композицію будь-якого скінченого
числа функцій. Наприклад, для обчислення
похідної функції
,
якщо
,
,
диференційовані, справедлива формула:
.
Наведемо таблицю похідних основних елементарних функцій:
Функція |
Похідна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
,
Розглянемо розв’язання прикладів.
Приклад 1.12.1. Знайти похідну функції
.
Розв’язання. Користуючись таблицею похідних і властивостями похідних, маємо:
.
Приклад 1.12.2. Знайти похідну
.
Розв’язання.
.
Приклад 1.12.3. Знайти похідну
.
Розв’язання.
.
Приклад 1.12.4. Знайти похідну
.
Розв’язання. Через те, що функція
є складною функцією виду
,
де
,
,
тоді маємо:
.
Приклад 1.12.5. Знайти похідну
.
Розв’язання.
Похідні вищих порядків
Означення. Нехай функція
задана на
і у кожній точці
існує
.
Тоді ми маємо нову функцію
,
задану на
.
Значить, можна говорити про похідну
функції
,
тобто про
або про другу похідну від функції
,
що позначається
,
,
.
І, узагальнюючи дану ситуацію, можна
сказати, що похідною
-го
порядку від функції
називається похідна від
-ої
похідної функції
:
,
Диференціювання деяких функцій
Диференціювання неявних функцій.
Нехай рівняння
визначає
як неявну функцію від
.
Надалі будемо вважати цю функцію
диференційованою.
Якщо продиференціювати по обидві частини рівності , одержимо рівняння першої степені відносно . Із цього рівняння легко знаходиться , тобто похідна неявної функції.
Приклад 1.12.6. Знайти похідну
з рівняння
.
Розв’язання. Тому що
є функцією від
,
тоді будемо розглядати
як складну функцію від
.
Отже,
.
Якщо продиференціюємо по
обидві частини даного рівняння, одержимо:
,
тобто
.
Приклад 1.12.7. Знайти похідну
з рівняння
.
Розв’язання. Диференціюючи по обидві частини рівняння, одержимо:
,
тобто
.
Перенесемо в одну сторону рівності всі
доданки, що містять
,
тоді:
,
,
.
Диференціювання степенево-показникової
функції:
.
Щоб обчислити похідну даної функції застосовується спеціальний прийом: необхідно спочатку прологарифмувати функцію, а потім продиференціювати як складну функцію. Така процедура називається логарифмічним диференціюванням.
Приклад 1.12.8.Знайти похідну з рівняння
;
;
;
;
;
.
Нарешті,
.
Зауваження. Спосіб диференціювання функції попереднім логарифмуванням також ефективний при знаходженні похідної функції, що є добутком або часткою декількох функцій.
Приклад 1.12.9. Знайти похідну
.
Розв’язання. Прологарифмуємо обидві частини рівняння:
;
;
;
;
;
;
.