МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ

УКРАЇНИ

Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

Кафедра вищої і прикладної математики

Т.О. Фоміна

МАТЕМАТИКА

ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

для практичних занять

для студентів

напряму підготовки «Економіка підприємства»

ДонНУЕТ

Донецьк

2013

Міністерство освіти і науки, МОЛОДІ ТА СПОРТУ України

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЕКОНОМІКИ І ТОРГІВЛІ

імені Михайла Туган-Барановського

Кафедра вищої і прикладної математики

Т.О. Фоміна

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

для практичних занять для студентів

напряму підготовки «Економіка підприємства»

Затверджено

на засіданні кафедри

вищої і прикладної математики

Протокол № від .03.2013 р.

Схвалено навчально-методичною

радою ДонНУЕТ

Протокол № від

ДонНУЕТ

Донецьк

2013

УДК 51(076.5)

ББК 22.1я73

Ф 76

Рецензенти:

О.К. Щетініна – доктор фіз.-мат. наук, професор;

С.В. Скрипник – канд. фіз.-мат. наук, доцент

Фоміна Т.О.

Ф 76 Математика для економістів. Метод. вказ. для практ. занять та орг. самост. роботи студ. напряму підготовки «Економіка підприємства» / Т.О. Фоміна; М-во освіти і науки, молоді та спорту України, Донец. нац. ун-т економіки і торгівлі ім. М. Туган-Барановського, Каф. вищ. і приклад. математики. – Донецьк: ДонНУЕТ, 2013. – 103 с.

Методичні вказівки призначені для використання під час проведення практичних занять та організації самостійної роботи студентів (напряму підготовки «Економіка підприємства» за курсом “Математика для економістів ” у відповідності з новими стандартами підготовки фахівців в рамках ECTS. Вона може бути використана також студентами інших спеціальностей і форм навчання.

Розробка містить деякі теоретичні питання, конкретні рекомендації і докладні коментарі прикладів розв’язування завдань основних типів відповідного змісту, а також індивідуальні завдання для самостійної роботи студентів.

УДК 51(076.5)

ББК 22.1я73

 Фоміна Т.О., 2013  Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського, 2013

ЗМІСТ

	вступ…………………………………………………………………….	4
	Змістовий модуль 1…………………………………………………… 1.1. Поняття числової матриці................................................................ 1.2. Визначники квадратних матриць..................................................... 1.3. Ранг матриці....................................................................................... 1.4. Обернена матриця............................................................................. 1.5. Матричні рівняння............................................................................ 1.6. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь 1.7. Приклади застосування алгебри матриць в економіці.................. 1.8. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів, їх властивості та вираз через координати.................................................. 1.9. Рівняння прямої на площині............................................................ 1.10.Рівняння прямої і площини в просторі........................................... 1.10. Поняття границі послідовності і границі функції, властивості................................................................... 1.12. Диференціальне числення функцій однієї змінної...................... 1.13. Застосування диференціального числення до дослідження функцій однієї змінної............................................................................	6 6 10 14 17 19 20 27 29 34 37 43 48 53
	Змістовий модуль 2…………………………………………………… 2.1. Невизначений інтеграл, властивості............................................... 2.2. Визначений інтеграл, властивості................................................... 2.3. Основні методи інтегрування........................................................... 2.4. Інтегрування раціональних функцій............................................... 2.5. Інтегрування тригонометричних функцій...................................... 2.6. Невласний інтеграл........................................................................... 2.7. Диференціальні рівняння першого порядку................................... 2.8. Однорідні і лінійні рівняння першого порядку.............................. 2.9. Диференціальні рівняння другого порядку із сталими змінними.................................................................................................... 2.10. Числові ряди.................................................................................... 2.11. Достатні ознаки збіжності.............................................................. 2.12. Степеневі ряди. Інтервал збіжності...............................................	60 60 61 63 66 68 70 72 73 76 77 77 81
	Завдання для самостійної роботи……………………………………	82
	Література………………………………………………………………	102

ВСТУП

В практичній діяльності людини математика використовується з моменту її зародження. Довгий час розвиток математики визначався в основному потребами природничих та технічних наук. І лише в останній час математичне моделювання процесів та явищ поступово проникло в нові сфери наукових знань: техніку, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки, зокрема, економіку, соціологію, політологію.

Сучасний стан економіки України, розвиток її наукової бази потребує вирішення складних теоретичних і практичних завдань, які вимагають створення якісно нових напрямів економічної теорії та суміжних наукових дисциплін тісно пов’язаних з нею. Це зумовлює необхідність розробки нових навчальних технологій та методів, що дають змогу формувати у студентів принципово нове сучасне мислення щодо розуміння процесів, які відбуваються в економіці України, а також науково обґрунтованого коригування та управління ними на будь-якому рівні ієрархії, складності та організації. Зрозуміло, що все це неможливо без використання різноманітного математичного апарату.

Комерційні розрахунки, обчислення пов’язані з кредитними відносинами, роботою банків та бірж, прогнозуванням та ризиком, не можна здійснювати тільки за допомогою елементарної математики. Сучасні економічні відносини, сучасний бізнес потребують і сучасного економічного мислення, яке базується на спеціальних математичних методах.

В сучасній економіці вища математика виступає у якості необхідного інструменту, за допомогою якого підприємець може вибрати найкращий варіант дії з багатьох можливих. Доход, прибуток, податок, дивіденд, рентабельність – все це цифри, та для їх розрахунку без вищої математики не можна обійтись.

Знання, які отримані при вивченні курсу вищої математики, є базовими, на які опираються такі математичні курси як теорія ймовірностей, математичні методи дослідження операцій, а також і ряд економіко-математичних дисциплін. Зокрема, економіко-математичні методи та моделі: оптимізаційні методи та моделі, економетрика.

Ці вказівки підготовлені відповідно до програми з навчальної дисципліни „Математика для економістів (загальний курс)” та кредитно-модульної системи для студентів денної форми навчання спеціальності „Економіка підприємства”.

Перехід до кредитно-модульної системи навчання диктує певну реорганізацію учбового процесу. У зв’язку з тим, що відбувається певне зменшення аудиторних занять при незмінному обсязі учбового матеріалу, однією з головних форм праці є самостійна робота студентів. Тому у кожному розділі посібника стисло наводиться теоретичний матеріал, методика розв’язання задач, конкретні приклади розв'язання економічних задач та багатьох задач для аудиторної та самостійної роботи студентів.

Важливою складовою учбового процесу є контроль роботи студентів. Необхідно проводити опитування по теоретичному матеріалу, колоквіуми, перевірку домашніх завдань, захист студентами індивідуальних робіт, і наприкінці, складання конкретного модуля. Для проведення цієї роботи в посібнику наведено комплекс індивідуальних завдань для кожного студента.

Мета вказівок – надати студентам системний погляд на використання різних розділів вищої математики для розв’язання економічних задач та підготувати базу для успішного подальшого вивчення студентами таких дисциплін, як «Теорія ймовірностей та математична статистика», «Математичне програмування», «Економетрика», «Макроекономіка», «Мікроекономіка», «Статистика» та інші.

Використання цієї розробки, автор сподівається, надасть суттєву допомогу як викладачам, так і студентам в їх роботі по вивченню «Математики для економістів».

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1

1. Поняття числової матриці

Дуже часто для розв’язання економічних задач використовують поняття „матриця”: технологічна матриця, матриця попиту, матриця пропозиції та інші. У багатьох прикладних задачах доводиться зводити числові дані в таблиці і тоді їх математична обробка значно спрощується.

Означення. Прямокутна таблиця чисел, яка містить рядків та стовпців, називається числовою матрицею розміру (або порядку ).

Матриці позначаються великими літерами латинського алфавіту, наприклад . Числа, які складають матрицю, називаються елементами матриці. Для позначення елементів матриці використовуються малі літери з подвійною індексацією , де – номер рядка, – номер стовпця.

У загальному вигляді матрицю розміру можна записати так:

. (1.1.1)

Скорочений запис матриці має вигляд , де ; .

Розміри матриць можуть бути різними.

Означення. Матриця називається матрицею-рядком, якщо вона складається з одного рядка. Наприклад,

. (1.1.2)

Означення. Матриця називається матрицею-стовпцем, якщо вона складається з одного стовпця. Наприклад,

. (1.1.3)

Означення. Матриця називається квадратною -го порядку, якщо число її рядків співпадає з числом стовпців і дорівнює .

Елементи квадратної матриці, у яких номер рядка дорівнює номеру стовпця, називається діагональними та утворюють головну діагональ матриці: . Побічну діагональ цієї матриці утворюють елементи .

Означення. Квадратна матриця, у якої елементи, що розташовані вище або нижче головної діагоналі дорівнюють нулю, називається трикутною матрицею, наприклад:

або .

Означення. Квадратна матриця, у якої всі недіагональні елементи дорівнюють нулю, називається діагональною матрицею, наприклад:

(1.1.4)

Означення. Якщо всі елементи головної діагоналі діагональної матриці -го порядку дорівнюють одиниці, то вона називається одиничною матрицею -го порядку і позначається літерою .

(1.1.5)

Означення. Матриця, в якій всі елементи дорівнюють нулю, називається нульовою і позначається літерою .

(1.1.6)

Існують і інші види матриць, наприклад, симетрична (якщо ) тощо.

Дії над матрицями

Над матрицями, як і над числами, можна робити такі алгебраїчні дії, як додавання, множення матриць, множення матриці на число. Матриці можна також транспонувати.

Означення. Добутком матриці на число називається матриця , елементи якої для всіх де ; є

. (1.1.7)

Наприклад, якщо , то .

Означення. Сумою двох матриць однакового розміру і називається матриця , елементами якої обчислюються за формулою

. (1.1.8)

Для довільних матриць , і однакового розміру та будь-яких чисел справедливі співвідношення:

1. ;	5. ;
2. ;	6. ;
3. ;	7. ;
4. ;	8. .

Приклад 1.1.1. Знайти матрицю , якщо

і .

Розв'язання.

,

.

Означення. Добутком двох матриць і називається матриця , елементи якої визначаються за формулою

, ; (1.1.9)

Зауваження. Множення матриці на матрицю визначено тільки тоді, коли число стовпців матриці (першого співмножника) дорівнює числу рядків матриці (другого співмножника). Матриця має розмір .

Зауваження. Добуток матриці-рядка розміру на матрицю-стовпець розміру називається скалярним добутком.