Зразки розв'язування вправ

Розв'язати систему рівнянь

а) методом Гаусса;

б) за формулами Крамера.

► а) Застосуємо метод Гаусса в матричній формі. Запи­шемо розширену

матрицю системи та зведемо її до трикутного вигляду за допомогою тотожних перетворень.

Поміняємо місцями перший і другий рядки системи рів­нянь, після чого перший рядок домножимо на (-3) і на (-4) та додамо відповідно до другого і третього рядків. Після цих перетворень дістанемо матриці рівносильних систем:

Домножимо другий рядок останньої матриці (тобто друге рівняння

відповідної системи) на (-1). До третього рядка до­дамо другий, помножений

на 5, після чого третій рядок поді­лимо на (-11). Маємо матриці відповідних

рівносильних сис­тем:

Остання матриця відповідає системі

яка рівносильна заданій системі.

Із третього рівняння системи маємо z = 4. Підставивши це значення в друге рівняння, дістанемо y = 4z-11=5, після чого з першого рівняння визначаємо x=-3. Отже, x=-3, y=5, z=4 - розв'язок заданої системи рівнянь.

б) Розв'яжемо задану систему за формулами Крамера. Об­числимо

визначник системи Δ та визначники Δ_x, Δ_y, Δ_z:

За формулами Крамера дістаємо єдиний (оскільки Δ ≠ 0) розв'язок

системи:

Розв’язати систему матричним способом

Розв’язання. Запишемо цю систему в матричному вигляді. AX=B, де

Далі обчислюємо елементи оберненої матриці

Обернена матриця матиме вигляд

Далі знаходимо розв’язок системи за формулою

Отже, маємо , а звідси x = 3, y = 2, z = 1.

Модуль 2. Векторна алгебра та аналітична геометрія Дії над векторами у координатній формі.

Нехай вектори задані свїми координатами = ( х₁; у₁; z₁ ) ; = ( x₂; y₂; z₂ ) ;

=(x₃; y₃; z₃ ), або відомі їх розклади за одиничними ортами ; ; .

1) + = ( x₁+ x₂; y₁+ y₂; z₁+ z₂ ) - сума векторів;

2) - = ( x₁- x₂; y₁- y₂; z₁- z₂ ) - різниця векторів;

3) · = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ - скалярний добуток;

4) · = ( x₁+y₁+z₁ ) - добуток вектора на число;

5) ІІ <=> - умова колінеарності векторів;

6)  <=> x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0 - умова перпендикулярності векторів;

7) пр_a^b = - проекція вектора на вектор ;

пр_b^a = - проекція вектора на вектор ;

8) - довжина вектора ;

9) = - векторий добуток векторів ;

10) = - мішаний добуток векторів;

11) cos = - кут між векторами;

12) Площа паралелограма:

S =

13) Об’єм паралелепіпеда:

V_пар.=

14) Об’єм піраміди:

V_пір.=