Модуль 1. Лінійна алгебра.

Визначники другого і третього порядків.

Вирази

називаються відповідно визначниками (детермінантами) другого і третього порядків.

Символи називаються елементами визначника. Вони можуть бути числами, функціями, алгебраїчними виразами тощо.

Положення елемента у визначнику характеризується двома індексами:

перший означає номер рядка (зверху вниз), а другий – номер стовпця (зліва направо), на перетині яких знаходиться даний елемент.

Якщо вважати, що визначник першого порядку – це один елемент, то можна дати таке означення.

Мінором елемента визначників другого і третього порядків відповідно називається визначник першого і другого порядків, які дістаємо з даних визначників викресленням рядка та стовпця.

Алгебраїчним доповненням елемента називається його мінор, взятий зі знаком , тобто .

В л а с т и в о с т і в и з н а ч н и к і в.

1. Визначник не зміниться, якщо його рядки змінити відповідними стовпцями.

2. Якщо переставити місцями два рядки (стовпці), то визначник змінить знак.

3. Якщо один з рядків (стовпців) визначника складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю.

4 Якщо визначник має два однакових рядки (стовпці), то він дорівнює нулю.

5. Спільний множник, що міститься в усіх елементах одного рядка (стовпця), можна винести за знак визначника.

6. Якщо у визначнику елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, то

визначник дорівнює нулю.

7. Якщо кожен елемент n – го рядка (n – го стовпця) є сумою двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у одного з яких n – й рядок (n – й стовпець) складається з перших доданків, а у другого – з других; інші елементи всіх трьох визначників однакові.

8.Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця), додати

9.Відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.

Теорема 1. Визначник дорівнює сумі добутків елементів якого-небудь рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення, тобто

або .

Ці формули називаються розкладом визначника за елементами i-го рядка та i-го стовпця відповідно.

Матриці

Дії над матрицями.

Прямокутна таблиця чисел , i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

називається матрицею (числовою матрицею розміром ).

Коротко матрицю позначають так: А = ( ), де – елементи матриці. Якщо m = n, то матриця називається квадратною.

Дві матриці А = ( ) та В = ( ) називаються рівними між собою, якщо вони мають однакові розміри ( , ) і рівні відповідні елементи: = . Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначають її буквою О. Квадратна матриця називається діагональною , якщо всі її елементи, крім тих, що лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожний елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е.

Визначником квадратної матриці =( ) називається визначник, який складений з елементів матриці і позначається символом det A. Таким чином ,

.

Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю:

Сумою С = А + В двох матриць однакового розміру =( ) та = ( ) називається матриця

Добутком матриці А = ( ) на число k називається матриця

Різниця А – В матриць однакових розмірів визначається як сума матриці А і матриці В , помноженої на -1: А – В = А + (-1) В.

Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Якщо матриця А узгоджена з матрицею В, то добутком С = АВ матриці

=( ) на матрицю = ( ) називається така - матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на

відповідні елементи j-го стовпця матриці В:

i =1, 2, … , m, j =1, 2, … , k.

Обернена матриця. Матрицю А^-1 називають обер­неною до квадратної матриці A, якщо добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці, тобто

А А^-1 =А^-1А = Е.

Обернена матриця існує для всякої квадратної матриці А , яка є невиродженою, тобто коли визначник матриці |А| ≠ 0.

Запишемо алгоритм відшукання оберненої матриці до квадратної матриці А:

1) обчислити визначник |А| матриці А. Якщо |А| ≠ 0, то матриця А має обернену, в іншому випадку оберненої матриці не існує;

2)обчислити алгебраїчні доповнення А_ij ;

3)записати матрицю А^~T, яка є транспонованою до матриці А^~= (А_IJ), складеної з алгебраїчних доповнень елементів за­даної матриці;

4)визначити обернену матрицю за формулою

A^-1= 1 A^~T

|A|

Приклад. Визначимо обернену матрицю А^-1 для матриці

Оскільки визначник

то для матриці А існує обернена матриця А^-1 . Запишемо алгебраїчні

доповнення елементів матриці А:

Якщо основна матриця системи лінійних рівнянь є квадратною і

невиродженою, то систему можна розв'язати матричним способом (за допомогою оберненої матриці). Записавши систему в матричному вигляді,

дістанемо розв'язок X системи рівнянь:

АХ = В= (А^-1А)Х = А^-1В = ЕХ = А^-1В = Х = А^-1В.