Питання і вправи для самоперевірки.

1. Що називається невизначеним інтегралом?

2. Сформулюйте основні властивості невизначеного інтеграла.

3. Якою дією можна перевірити інтегрування?

4. Що називається визначеним інтегралом?

5. Сформулюйте основні властивості визначеного інтеграла.

6. Який геометричний зміст визначеного інтеграла?

7. Напишіть формули для обчислення площі плоскої фігури за допомогою визначеного інтеграла.

8. По яким формулам знаходиться об’єм тіла обертання?

9. Напишіть формулу для обчислення роботи змінної сили.

10. По якій формулі обчислюється сила тиску рідини на пластину?

11. Знайдіть інтеграли:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

12. Обчисліть визначені інтеграли

а) ; б) ; в) ; г) .

13. Обчислити площу фігури обмежену лініями: а) y=x²+1, y=0, x =-2, x=1;

б) x²-9y=0 і x-3y+6=0.

14. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури обмежену параболою y²=x, x=2, та віссю ОХ.

15. Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури, обмеженою параболою y²=x, прямими y=1, y=4, та віссю ОY.

16. Яку роботу необхідно виповнити, щоб розтягнути пружину на 6 см, якщо сила в 1Н розтягує на 6 см.

17. Обчислити силу тиску води на вертикальний прямокутний шлюз з основою 18 м і висотою 6 м.

18. Яке рівняння називається диференціальним?

18. Дайте означення диференціального рівняння першого порядку.

19. Дайте визначення загального розв’язку диференціального рівняння першого порядку.

20. Записати загальний вид однорідного диференціального рівняння. Як воно розв’язується?

21. Лінійне диференціальне рівняння І-го порядку, його загальний вид та розв’язок.

22. Загальний розв’язок лінійного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами.

23. Розв’язати диференціальне рівняння і знайти частинні інтеграли, які задовольняють даним умовам:

a) xdy =y dx, x=2, y=6

б) (x²y-y)dy + (xy²+x)dx =0, y=1, x=0

в) e^y(1+x²)dy - 2x(1+e^y)dy =0, x=0, y=0

г) (x²+4)y'-2xy =0, x=1, y=5

д)

e)

ж) y"+2y'-3y=0

з) y"+6y'+9y=0

i) y"+4y'+5y=0.

Завдання контрольної роботи. Модуль 1. Лінійна алгебра.

Розв’язати системи лінійних рівнянь методом Крамера, Гауса та матричним способом:

1

2

.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

.

28

29

30

Модуль 2. Векторна алгебра та аналітична геометрія.

31. З у сих точок, які знаходяться від точки М (7, 2) на відстані, яка дорівнює 5, знайдіть ту, абсциса якої дорівнює 10.

32. Перевірити колінеарність векторів і встановити, який з них довший.

33. Кінці однорідного стрижня розміщено в точках А (4; -4) і В (0; 2). Визначте координати його центра мас.

34. Відрізок, обмежений точками А (2; -2), В (5; 4), поділено на три рівні частинами. Знайти координати точок поділу.

35. Дано три вектора , і . Обчислити пр .

36. Обчисливши внутрішні кути трикутника з вершинами А (2; 3; 1), В (4; 0; 7),

С (8; 5; -2), переконатись, що цей трикутник рівнобедрений.

37. Дано два вектори: .Знайти вектор , при умові що він перпендикулярний до осі ОУ і задовольняє умовам .

38. Визначте координати кінців А і В відрізка АВ, який точками Р (2; 2) і Q (1; 5) поділені на три рівні частини.

39. Дано три точки А (4; 1; 4), В (3; 4; 1), С (5; 4; 3). Знайти координати векторного добутку .

40.Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах .

41. Обчислити площу трикутника АВС, заданого вершинами А (-1; -1; -1),

В (0; 1; 2), С (2; 1; 0).

42. Силу прикладена до точки С (2; -1; 2). Знайти величину моменту цієї сили відносно початку координат, та його напрямні косинуси.

43. Обчисліть синус кута, утвореного векторами .

44. Визначте чи компланарні вектори , якщо .

45. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на заданих векторах : .

46. Обчислити об’єм піраміди АВСD з вершинами в точках: А (1; -2; -1),

В (4; 4; 4), С (2; 1; -1), D (3; 0; 3).

47. Дано трикутник з вершинами А (-2; 3), В (4; -5) і С (-6; 1). Скласти рівняння медіани AD і висоти ВЕ.

48. Дано трикутник з вершинами А (-1; 8), В (7; -2) і С (-5; 4). Скласти рівняння сторони АС і медіани BD цього трикутника.

49. Знайти кут між прямими 2x-y-7=0 і 3x+y-11=0.

50. Дано рівняння сторін трикутника АВС: 5x+3y+1=0 (AB), x+y+1=0 (BC),

7x+5y-1=0 (AC). Визначте координати вершин А і В цього трикутника.

51. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку К (2; -7) перпендикулярно прямій 3x+y-2=0.

52. Дано трикутник з вершинами А (-1; 3), В (-2; -1) і С (5; -3). Скласти рівняння прямої, яка проходить через середину сторони АС, перпендикулярно стороні АВ.

53. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку С (-3; 5) паралельно прямій 2x-3y-1=0.

54. Сторони трикутника задані рівняннями 3x+4y+1=0 (AB), 2x-y-3=0 (BC),

x+5y-7=0 (AC). Скласти рівняння висоти AD.

55. Дві прямі перетинаються в точці С (-2; -4). Знайти кут між ними, якщо одна з них проходить через точку А (1; 2), а друга - через точку В (1; -3).

56. Дано дві прямі: x+y+3=0 і 2x+3y-1=0. Знайти відстань між точками, в яких їх перетинає пряма 4x+3y+7=0.

57. Протилежні вершини квадрата лежать у точках А (-2; 5) і С (2; 8). Знайти довжину і рівняння його діагоналей.

58. Через точку перетину прямих x-2y+12=0, 3x+y+1=0 і точку А (3; -4) проведена пряма. Скласти її рівняння.

59. Довести, що прямі 2x-y+7=0, x+y-1=0, x+2y-4=0 проходять через одну точку.

60. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку К (-3; 4) і паралельно бісектриси першого координатного кута.