Застосування визначеного інтегралу.

Визначений інтеграл широко застосовується при обчисленнях різних геометричних і фізичних величин.

1.Обчислення площ плоских фігур

Геометричний зміст визначеного інтеграла: чисельно визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції.

Якщо криволінійна трапеція, обмежена кривою , віссю ох і прямими , і лежить під віссю ох (мал. 1.), площу знаходять за формулою.

мал. 1

Якщо фігура, обмежена кривою , віссю ох прямими , розміщена з обох боків від осі ох (мал. 2.), то

Мал.2

Якщо фігура обмежена двома прямими, що перетинаються, з яких і , і прямими і ,де і (мал. 3.). Тоді її площу знаходять за формулою.

У

Мал.3

Х

2.Обчислення роботи.

Робота, виконана змінною силою F(x) при переміщенні по осі ох матеріальної точки від до знаходиться за формулою:

При розв’язані задач на обчислення роботи сили при стискувані або розтягуванні пружини часто використовується закон Гука: , де F-сила, х-абсолютне видовження пружини в м, визвано силою F, к-коефіцієнт стиску чи розтягу в Н/м.

3.Обчислення шляху, пройденого матеріальною точкою.

Виходячи з фізичного змісту першої похідної, маємо . Так як інтегрування – дія, обернена до дії диференціювання, то:

4.Обчислення швидкості матеріальної точки.

Так як - прискорення, от аналогічно до попередньої задачі:

5.Обчислення об’ємів тіл за площами поперечних перерізів.

6.Обчислення об’е\ємів і площ поверхонь тіл обертання.

-навколо осі ОХ

-навколо осі ОУ

Приклади розв’язання задач.

Задача 1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

Розв’язання

Для обчислення площі фігури перш за все треба накреслити цю фігуру.

Відповідь:

Задача 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

Розв’язання

Задача 3.Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

Розв’язання:

Задача 4. Обчислити площу фігури, обмежену лініями:

Розв’язання:

х
0	0
-3	1
3	1
6	4

Х
0	2
3	3
6	4

Границі інтегрування a і b тут являються абсцисами точок перетину двох ліній:

та .Щоб знайти координати точок перетину двох ліній, треба скласти систему з рівнянь цих ліній. тобто, a = -3, b=6. Тоді

Відповідь: S=13 кв.одиниць.

Задача 5. Обчислити об’єм тіла утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури обмеженої лініями .

Накреслимо графік.

Таке тіло називається параболоїдом обертання.

Відповідь: V=32 куб.од.