Фізичний зміст другої похідної.

Якщо S(t)-закон руху, то друга похідна закону руху за часом є прискорення.

а(t)=S″(t)

Взагалі, друга похідна характеризує прискорення будь-якого процесу.

Приклад 9.

Точка рухається за законом . Знайти швидкість та прискорення при

Розв’язання.

Так як маємо

Застосування похідної при побудові графіків функцій.

Зростання і спадання функції характеризується знаком її похідної.

Якщо на деякому проміжку (a, в) похідна , то функція зростає на цьому проміжку, якщо ж , то функція спадає на цьому проміжку.

Точка із області визначення функції називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий окіл точки , що для всіх з цього околу виконується нерівність (мал.1)

Точка із області визначення функції f(x) називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий - окіл точки що для всіх з цього околу виконується нерівність (мал.1) Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в цих точках – мінімум і максимум функції. Максимум і мінімум функції називається екстремумом функції.

Мал. 1

Точками екстремуму можуть бути ті критичні точки, в яких похідна перетворюється в нуль або терпить розрив, тобто не існує.

Звідси і перше правило знаходження екстремуму функції:

Знайти похідну функції і прирівняти її до нуля.

Розв’язати одержане рівняння, розташувавши корені в порядку

зростання.

До цих чисел дописати ті точки, в яких похідна не нує

.Отримали критичні точки на екстремум: .

Обчислити значення похідної лівіше і правіше кожної з

критичних точок. Якщо при переході через дану критичну точку

похідна функції змінює знак з мінуса на плюс, то функція в цій точці

має мінімум, якщо з плюса на мінус – то максимум, якщо не змінює

знак, то екстремуму немає.

Обчислити значення функції в точках екстремуму.

Крива y = f(x) називається опуклою вниз на проміжку (a, b), якщо вона лежить вище дотичної в будь – якій точці цього проміжку (мал 2).

y

х

Мал.2

Крива y = f(x) називається опуклою вгору на проміжку (а, в), якщо вона лежить нижче дотичної в будь – якій точці цього проміжку (мал 3).

y

X

Мал..3

Опуклість вниз або вгору кривої, що являється графіком функції y = f(x), характеризується знаком її другої похідної:

Якщо на деякому проміжку f″(x) ,то крива опукла вниз на цьому проміжку, якщо f″ (x) , то крива опукла вгору на цьому проміжку.

Виходячи з цього, можна сформулювати друге правило знаходження екстремуму функції:

1.Знайти похідну і прирівняти її до нуля.

2.Розв’язати одержане рівняння, розташувати корені в порядку зростання.

3. До них дописати точки, в яких похідна не існує. Отримали

критичні точки на екстремум: .

4.Знайти другу похідну f″(x) і обчислити її значення в критичних

точках.

Якщо в даній критичній точці друга похідна буде додатна, то функція в цій точці має мінімум, якщо від’ємною – то максимум, якщо друга похідна дорівнює нулю, то екстремум треба знаходити за першим правилом.

5.Обчислити значення функції в точках екстремуму.

Точки, в яких опуклість вгору змінюється на опуклість вниз або навпаки, називаються точками перегину.