Похідна та її застосування.
Похідною функції називається границя відношення прирісту функції до прирісту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.
Дія знаходження похідної називається диференціюванням.
Основні правила диференціювання
3)
4)
Формули диференціювання.
Похідна простої функції |
Похідна складеної функції |
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
|
|
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
|
|
Приклад 1. Знайти похідну функції.
Розв’язання.
Ця функція представлена у вигляді алгебраїчної суми. Диференціюємо її опираючись на формули 1, 4, 5, 7.
Приклад
2.
Розв’язання.
Ця функція представлена у вигляді добутку показникової функції на тригонометричну. Використовуємо формули 2, 10, 14.
Приклад 3. Знайти похідну функції
Розв’язання.
Маємо похідну частки. Диференціюємо її використовуючи формули 3, 5, 7.
Приклад 4. Знайти похідну функції
Розв’язання.
Дана функція є складеним квадратним коренем. Диференціюємо її опираючись на формули 8, 1, 11, 14, 15.
Приклад
5. Знайти
похідну
і обчислити її значення при
Розв’язання.
Це складена степенева функція з аргументом sinx. Використовуємо формули 7, 14.
Обчислимо значення похідної при
Геометричний зміст похідної.
Кутовий
коефіцієнт дотичної до кривої
в точці
,дорівнює
значенню похідної функції у точці
Рівняння дотичної має вигляд:
Приклад 6.
Скласти
рівняння дотичної до графіка функції
в точці
А(3, 6)
Розв’язання.
Для знаходження кутового коефіцієнта дотичної знайдемо похідну функції.
Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює похідній функції у точці х=3.
Рівняння дотичної має вигляд (Y-Y1)=K (X-X1)
-рівняння
дотичної.
Фізичний зміст похідної.
Якщо S(t) – закон руху, то похідна закону руху за часом є миттєва швидкість.
Швидкість зміни будь-якого фізичного, хімічного або інших процесів характеризується за допомогою поxідної.
Приклад 7.
Закон
руху точки задається формулою
(S
- у метрах, t
– у секундах). Знайти швидкість руху
точки на прикінці першої секунди.
Розв’язання.
Опираючись
на фізичний зміст похідної маємо
.
