Дії над комплексними числами у алгебраїчній формі:

Нехай: z₁ = a₁ + b₁i; z ₂ = a ₂ + b₂i

Умова рівності комплексних чисел:

1) z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i – сума ;

2) z₁+z₂= (a₁-a₂)+(b₁-b₂)i – різниця ;

3) z₁·z₂=(a₁+b₁i)(a₂+b₂i) = a₁a₂+ a₁b₂i+ a₂b₁i+ b₁b₂i² = ( a₁a₂- b₁b₂)+

( a₁b₂+a₂b₁)i, враховуючи, що і² = -1 – добуток ;

4) - частка

Дії над комплексними числами у тригонометричній формі:

z₁=r₁(cos₁+isin₁); z₂=r₂ (cos₂+isin₂)

1)z₁z₂=r₁r₂(cos(₁+₂)+isin(₁+₂)) – добуток ;

2) (cos(₁-₂)+isin(₁-₂)) – частка ;

3) z₁ⁿ = r₁ⁿ(cosn+isinn) - піднесення до n-го степеня ;

4)

де k=0, 1, 2 , ... , n-1, - добування корення n-го степеня.

Дії над комплексними числами у показниковій формі

,

1) z₁z₂=r₁r₂e^i(₁^+₂⁾ - добуток ;

2) = e^i(₁^-₂⁾ - частка ;

3) z₁ⁿ = r₁ⁿ e^in - піднесення до корення n-го степення ;

4) де k=0, 1, 2, ...n-1 - добування корення n-го степення.

Приклад 1: Дано: z₁=2-3i; z₂=1+4i

Знайти: 1) z₁+ z₂ ; 2) z₁ - z₂ ; 3) z₁ • z₂ ; 4) ; 5) .

Розв’язання:

1) z₁+ z₂ = (2+1)+(-3+4) i = 3 + i ;

2)z₁- z₂ = (2-1)+(-3-4) i = 1-7i ;

3) z₁z₂=(2-3i)(1+4i)=2+8i-3i-12i² = 12+5i ;

4) = · = = = - .

5) = (2-3i)² = 4 - 12i + 9i² = -5-12i ;

Приклад 2 : Дано: z₁=2(cos30⁰ + isin30⁰)

z₂=3(cos60⁰ + isin60⁰)

Знайти: 1) z₁z₂ ; 2) ; 3) ; 4) .

Результат записати у алгебраїчній формі.

Розв’язання:

1. z₁·z₂ = 2·3(cos(30⁰+60⁰) + isin(30⁰+60⁰)) = 6·(cos90⁰+isin90⁰) =

6·(0+i·1) = 6i ;

2) = ·(cos(30⁰-60⁰) + isin(30⁰-60⁰)) = ·(cos(-30⁰) + isin(-30⁰)) =

= ·(cos30⁰- isin30⁰) = ·( - i )= - i ;

3) =2³(cos30⁰·3+isin30⁰·3) = 8·(cos90⁰+isin90⁰) = 8·(0+i·1) = 8i ;

4) = (cos + isin ) , k=0, 1, 2, 3.

Приклад 3 : З умови рівності двох комплексних чисел знайти дійсні числа

x i y, -2 + 5ix - 3iy = 9i + 2x - 4y

Розв’язання:

Виділимо з обох частин рівності дійсні та уявні частини комплексного числа. -2+(5х-3у)і=2х-4у+9і

Тепер, використовуючи умову рівності комплексних чисел, складемо систему.

розв’язав її, маємо : х=3, у=2.

Модуль 4. Диференціальні числення функцій.

Границя функції в точці.

Число А називають границею функції у=(х) при ха, якщо для будь якою >0 знайдеться таке число >0 , що для всякого ха, який задовольняє умові |х-а|<, виконується нерівність |(х)-А|<. В цьому випадку пишуть (x)=А

При обчисленні границь функцій необхідно знати такі теореми.

1) lim C=C, де C=const

^{x a}

2) lim C·(x)=C·lim(х)

^{x a x a}

3) lim ((x)  q(x)) = lim (x)  lim q(x)

^{x a x a x a}

4) lim (x)·q(x) = lim (x)·lim (q)

^{x a x a x a}

5) , якщо

6) Крім того, будемо користуватися тим, що границя многочленна при ха, дорівнює значенню многочленна в цій точці:

P(x) = P(a), де P(x) - многочлен

Функція (х) називається нескінченно малою при ха, якщо

(x) = 0.

Функція (х) називається нескінченно великою при ха, якщо

(x) =  .

Зв’язок між нескінченно великою та нескінченно малою функціями:

Якщо (х) - нескінченно велика та обернена до неї функція є функцією нескінченно малою і навпаки.

Опираючись на ці властивості та властивості границь, можна виділити такі, часто зустрічаючи, границі, якими можна користуватися, як формулами:

1) ax =  ;

2) =  ;

3) =  ;

4) = 0 ;

5) = 1 - перша важлива границя.

6) (1 + )^x =e, де e  2,718 - друга важлива границя.

У найпростіших випадках знаходження границі (x) зводиться до

Підстановки у функцію (х) граничного значення аргументу a.

Приклад 1:

Приклад 2 :

Але часто така підстановка приводить до невизначених виразів. Це такі вирази:

1. відношення двох нескінченно малих величин - невизначеність виду ( ). Щоб розкрити невизначеність ( ), задану відношенням двох многочленів, треба в чисельнику і знаменнику виділити спільний множник і скоротити на нього дріб.

Приклад 3:

Приклад 4 :

Зробимо перетворення, розклавши чисельник і знаменник дробу на множники, як квадратні тричлени за формулою:

ax² + bx + c = a( x-x₁ )( x- x₂ ),

де х₁ і х₂ - корені квадратного тричлена, а потім скоротимо на х-5.

2х² -11х + 5 = 0. x₁ = 5; x₂ = , тому 2х² - 11х + 5 = 2 ( х-5)( х- ) .

3x² - 14x - 5 = 0. x₁ = 5; x₂ = - , тому 3х² - 11х - 5 = 3 ( х-5 )( х+ ).

Приклад 5 : ;

Знищимо ірраціональність у чисельнику шляхом домноження чисельника і знаменника на вираз 1+ , потім скоротимо дріб на х.

.

2) Відношення двох нескінченно великих величин - невизначеність виду ( ) .

Щоб розкрити невизначеність виду ( ) , задану відношенням двох многочленів, треба чисельник і знаменник розділити на найвищий степінь х у цих многочленах.

Приклад 6 :

Поділимо почленно чисельник і знаменник дробу на х².

Так як х  то - нескінченно мала і її границя дорівнює 0. Значить 0, аналогічно  0,  0.

= = ; Тобто ;

Приклад 7:

Чисельник і знаменник поділимо на х³

При обчисленні границь тригонометричних функцій часто використовують першу важливу границю.

;

Необхідні формули з тригонометрії :

1) 1- сos x = 2 sin²

2)

Приклад 8 : ;

Приклад 9 : .

Друга важлива границя:

Приклад 10 : ;

Приклад 11 : .