Средняяарифметическая.

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем вирирующего признака для всей совокупности является суммой отдельных ее единиц. Чтобы вычислить среднюю арифметическую нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняяарифметическая применяется в двух формах: простой и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой является средняя арифметическая простая. Она равна простой сумме отдельных значений определяемого признака, деленной на общее число значений. Применяется в тех случаях, когда имеются не сгруппированные индивидуальные значения признака: , где х₁, х₂, …, х_n – индивидуальные значения признака;n – число единиц совокупности.

Средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз, или имеют различный вес, называется взвешенной. В качестве весов выступает численность единиц в разных группах (группу объединяют одинаковые варианты): , где f – веса (частоты повторения одинаковых признаков).

Средняя гармоническая.

Когда статистическая информация не содержит частот (f) по отдельным значениям признака (х), а представлена в виде их произведения, применяетсясредняя гармоническая взвешенная. Чтобы вычислить среднюю обозначим произведение xf через ω: . Далее преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным получить формулу средней гармонической:.Из формулы видно, что средняя гармоническая – это среднее взвешенное из варьирующих обратных признаков. Она является преобразованной и тождественной формой средней арифметической и тождественна ей.

Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала необходимо определить веса отдельных значений признаков, скрытые в средней гармонической. В тех случаях, когда вес каждого варианта равен 1 (индивидуальное значение обратного признака встречается по одному разу), применяется средняягармоническая простая:.

Структурное среднее.

Особым видом средних являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структурырядов распределения значения признака. К ним относят моду и медиану.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака у отдельных единиц совокупности. Для дискретного ряда моду определяется как вариант, имеющий наибольшую частоту. Для интервального ряда с неравными интервалами моду определяют по наибольшей плотности, с равными интервалами– по наибольшей частоте.

, где –нижняя граница модального интервала, – величина модального интервала, – частота модального интервала, – частота предшествующего интервала, – частота следующего интервала.

Моду графически определяют при помощи гистограммы. Для этого на оси абсцисс выстраивают ряд сомкнутых прямоугольников, основанием у которых служат величины интервала, а высотой – частота интервала. Вершины прямоугольника с наибольшей высотой соединяют с вершинами рядом стоящих прямоугольников. Из точки пересечения на ось абсцисс опускается перпендикуляр, значение в этой точке и будет модой.

Значение по графику и по формуле должны совпадать.

16,10,12

Продолжение предыдущей лекции (структурное среднее):

Медиана – это вариант, который находится в середине вариационного ряда и делит его на две равные по числу единиц части(со значением больше и меньше медианы). Для того, чтобы определить медиану необходимо рассчитать ее порядковый номер: , а затем по наколенным частотам определяется медиана: , где – нижняя граница медианы, – величина медианного интервала, – накопленная частота домедианного ряда, – частота медианы.

Медиану графически обозначают при помощи кумуляты. Для этого на оси абсцисс восстанавливают перпендикуляр, основанием у которого служит величина интервала, а высотой – накопленная частота. Першины перпендикуляра соединяются кривой, которая носит название «кумулята». Далее на оси ординат находят порядковый номер медианы и проводят параллельную оси абсциссдо пересечении с кумулятой. Из точки пересечения на ось абсцисс опускают перпендикуляр, это и будет медиана.

Значения на графику и по формуле должны совпадать.