Понятие о моментах распределения.

В математической статистике подмоментом k-го порядка понимается среднее арифметическое k-ой степени отклонения отдельных вариантов от какой-то постоянной величины A. Если A – любое произвольное число, то момент k-го порядка можно записать в общем виде: .

Если принять, что A = 0, то момент называетсясяначальным и определяется в общем видеформулой: .

Начальный момент первого порядка равен среднему арифметическому. Начальные моменты 2,3,4-го порядков не имеют самостоятельных значений, а используются для упрощения вычисления центральных моментов. Обычно при анализе рядов распределения ограничиваются расчетом первых 4-х порядков.

Если (среднему арифметическому), то момент называется центральным и определяется по формуле: .

Центральный момент первого порядка равеннулю, второго порядка – дисперсии. Центральный момент третьего порядка служит мерой асимметрии распределения, т.к. для симметричных рядов всегда: . Центральный момент четвертого порядка служит для вычисления показателя эксцесса.

Чтобы можно было сравнить асимметричность в разных рядах, центральный момент 3-го порядка сопоставляется со средним квадратическимотклонением (С.К.О.) в кубе. Найденное отношение, называемое нормированным моментом 3-го порядка, принимается в качестве показателя асимметрии: , где A_s –коэффициент асимметрии Пирсона; – среднее арифметическое; М_о – мода; ϭ –С.К.О.

При симметричном распределении A_s = 0. Если A_s> 0, то это правосторонняя асимметрия, если A_s< 0 – левосторонняя. A_s может изменяться от –3 до +3.

Для симметричного распределения может быть рассчитан показатель эксцесса: . Если E_x = 0, то распределение будет симметричным, если E_x< 0, то распределение плосковершинное, если E_x> 0 – островершинное.

Выравнивание рядов.

Под выравниванием вариационных рядов понимается замена эмпирического распределения близким к нему по характеру теоретическим (вероятностным), имеющим определенное аналитическое выражение.

Одной из форм кривых распределений, покоторой можно выровнять вариационный ряд, является нормальное распределение. График нормального распределения имеет форму колоколообразной кривой, симметричной относительно x̅_ср, концы которой асимптотически приближаются к оси абсцисс. Она имеет точки перегиба,абсциссы которых находятся на расстоянии ϭ от центра симметрии. Кривая может быть выражена уравнением: , где y –ордината кривой нормального распределения, t – нормированное отклонение.

При выравнивании вариационного ряда по кривой нормального распределения теоретические частоты определяются:

, где N – сумма всех частот, h(i) – величина интервала в группе, аправая часть формулы определяется по таблице.

09,10,12

Продолжение предыдущей лекции (выравнивание рядов):

В ряде случаев вариационный ряд представляет собой распределение по дискретному признаку, где по мере увеличения значения x частоты резко уменьшаются и где среднее арифметическое ряда равно или близко по значению к дисперсии. Такой ряд можно выровнять по кривойПуассона:

, где P_x – вероятность наступления отдельных значений x, a – среднее арифметическое ряда.

Теоретические частоты при выравании эмпирических данных определяются: , где N – общее число единиц ряда.