Укрупнение интервалов. Скользящее среднее.

Из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний. Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию изменений уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергают обработке методом укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания

Одним из наиболее простых методов является укрупнение интервалов. Этот метод основан на укрупнении периодов времени, к которому относятся уровни рядов динамики (одновременно уменьшается количество интервалов).Например: ряд ежесуточного выпуска продукции заменяют рядом месячного выпуска продукции.

Выявление основной тенденции может осуществляется такжес помощью метода скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа (обычно – нечетного) первых по счету уровней ряда, затем вычисляют среднюю из такого же числа, но начиная со второго уровня, затем, с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Аналитическое выравнивание.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания является то, что методы рассматривают как функцию времени y(t), определяют теоритические (расчетные) уровни и это все происходит на основе адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики. Выбор типа модели зависит от целей исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, который выражает характер развития явления, а также обязательно должно быть графическое изображение (линейная диаграмма). Простейшими моделями, выражающими тенденцию развития,являются:

1. Линейная функция (прямая).

2. Показательная функция.

3. Степенная функция – кривая 2-го порядка.

Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов,в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическимии эмпирическими уровнями: → min, где y_t – расчетные уровни; y_i – фактические уровни.

Выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней плавно изменяющимися выровненными, которые наилучшим образом отражают статистические данные.

Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е., когда уровни изменяются в арифметической прогрессии.

Выравнивание по показательной функциипроизводится, когда коэффициенты роста практически постоянны, т.е., когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии.

Рассмотрим технику выравнивания ряда по прямой: . Параметры a₀и a₁, согласно методу наименьших квадратов, находят решение следующей системой уравнений: , где y – фактические уровни, t – время (порядковый номер периода или момента времени). Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отчета времени (t = 0) принять моментный интервал.При четном числе уровней, значения t будут такими: а при нечетном такими:

1	2	3	4	5	6
–5	–3	–1	1	3	5
1	2	3	4		5		6	7
–3	–2	–1	0		1		2	3

В обоих случаях → система нормальных уравнений примет следующий вид: → ;