Показатели вариации.

Вариация – это различия в значениях того или иного признака у отдельных единиц совокупности в один и тот же период иди момент времени.

Для суждения о вариации в статистике существует ряд показателей:

1. Размах вариации. Он представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака: .

2. Среднее линейное отклонение. Представляет собойсреднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней величины: или .

3. Дисперсия признака. Представляет собой средней квадрат отклонений вариантов от их средней величины: или .

4. Среднее квадратическое отклонение (С.К.О.) представляет собой корень квадратный из дисперсии: .

5. Коэффициент вариации –это выраженное в процентах отношение С.К.О. к средней арифметической: .

Правило сложения дисперсий.

В совокупности, разбитой на группы по какому-либо признаку, общая вариация определённого показателя складывается из вариации внутригрупповой и межгрупповой. Это находит отражение в правиле сложения дисперсий.

Общая вариация определенного показателя складывается из вариациймежгрупповой и внутригрупповой. Общая дисперсия измеряет вариацию признака под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака от любой общей средней и может быть вычислена как простая или взвешенная дисперсия.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную признаком фактора, положенного в основании группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общих средних: .

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, обусловленнуювлиянием неучтенных факторов и независящую от признака фактора, положенного в основание группировки. Она равнасреднему квадрату отклонений отдельных значений признака, внутри группы от среднейарифметической этой группы: .На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий: .

Согласно правилу сложения дисперсий, общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий: .

Показатели тесноты связи.

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками. В статистическом анализе для этих целей широко используют эмпирический коэффициент детерминации. Он представляет собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризует силу влияния группировочного признака на образование общей вариации: . Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного пизнака под влиянием факторного признака. При отсутствии связи он равен нулю, при функциональной связи – единице.

Эмпирическое корреляционное отношение представляет собой квадратный корень из эмпирического коэффициента детерминации: . Оно показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками. Принимает значения от 0 до 1. Если связь отсутствует, тоη =0, т.е. все группировочные средние будут равны между собой, и межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации. Если связь функциональная, то η = 1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общейдисперсии, т.е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочныйпризнак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака. Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Для качественной оценки тесноты связи на основании показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношением Чеддока:приη = 0 связь отсутствует; слабая – от 0,1 до 0,3; умеренная – от 0,3 до 0,5; заметная –от 0,5 до 0,7; высокая – от 0,7 до 0,9; весьма высокая (сильная) – от 0,9 до 1,0.

Выборочное наблюдение