Математическая постановка задачи ( п. 3 примерного тематического плана)

Пусть будет задано:

m – пунктов производства;

n – пунктов потребления;

DB_jB – спрос на производимую продукцию в j – м пункте производства (j = 1,2…n);

fB_iB - себестоимость изготовления одного изделия из i – пункта производства (i = 1,2…n);

dB_ijB – затраты на перевозку одного вида из i – пункта производства в j – пункт потребления;

СB_{i B}– производственная мощность i – пункта производства.

Требуется найти, какое количество изделий нужно производить в каждом пункте производства ( xB_iB ) и перевозить из каждого пункта производства в каждый пункт потребления ( xB_ijB ), чтобы суммарные затраты на производство и транспортировку всего произведенного количества изделий были минимальными. Иными словами, решение задачи должно минимизировать целевую функцию:

при условиях:

1. Условие требования удовлетворения спроса, существующего в j – м пункте потребления. В соответствии с ним суммарное количество продукции, привозимое из всех пунктов производства в j-й пункт потребления, должно соответствовать спросу в этом пункте.

5. Ограничение, выражающее ограниченность возможностей производства в каждом из пунктов производства. В соответствии с ним объем производимой в i-ом пункте производства продукции не должен превышать производственной мощности данного предприятия

3. Ограничение, требующее равенства объема продукции в каждом из пунктов производства сумме перевозок из этого пункта всем потребителям.

xB_iB =

6. Условие не отрицательности искомых переменных задачи.

xB_ijB >= 0

При этом выполняется соотношение :

xB_jB = говорящее о том, что суммарный объем поставок, полученных в каждом из пунктов потребления должен быть равен сумме поставок, отосланных из всех пунктов производства.

Как нетрудно заметить, в приведенном постановке мы имеем дело с задачей линейного программирования, поскольку все ее переменные входят в целевую функцию и ограничения только в первой степени.

Данная задача может быть поставлена не только по критерию минимума затрат, но также и по критерию максимума прибыли. В этом случае при сохранении всех ограничений задачи целевая функция может иметь следующий вид:

Z =

где WB_{i B}– продажная цена за единицу производимой продукции.

В данной постановке задачи принято, что затраты на производство одного изделия в пункте i ( fB_{i B} ) и на его перевозку из пункта i в пункт j ( dB_ijB) – заданные постоянные величины. В действительности же и те и другие зависят от количества производимых и перевозимых изделий.

Как известно, в увеличением количества выпускаемых изделий одного и того же вида себестоимость одного изделия снижается за счет уменьшения расходов, связанных с подготовительно- восстановительными работами (например, на наладку оборудования ) и условно постоянных расходов (например, административно- управленческих расходов, расходов на содержание вспомогательных производств и др.), приходящихся на одно изделие. Вследствие этого зависимость затрат на производство одного изделия от количества их выпуска в i –м пункте производства (xi) может быть выражена в следующем виде:

fB_iB =

где FCB_iB - сумма условно –постоянных накладных расходов и затрат, связанных с подготовительно-заключительными работами, на весь выпуск изделий.

VB_{i B}– условно – переменные расходы, приходящиеся на одно изделие (сюда входят затраты, пропорциональные количеству выпускаемых изделий, такие как материалы, заработная плата и др.).

Характер зависимости себестоимости от количества выпускаемой продукции может изменяться под влиянием перехода от одной технологии производства к другой. Чем более массовым является производство, тем более дорогую и более совершенную технологию оно может себе позволить. Такие изменения технологии происходят скачкообразно. важно понимать, что при изменении объема производства в допустимых по постановке данной задачи пределах используемая технология производства остается неизменной.

Что касается затрат на перевозку, то следует отметить, что они мало зависят от количества транспортируемых изделий и могут считаться постоянными.

С учетом сделанных замечаний ограничения задачи сохраняются прежними, а целевая функция задачи может быть преобразована следующим образом:

L =

Здесь бинарная переменная YB_iB принимает только два значения:

yB_iB = 0, если xB_iB =

yB_iB = 1, если xB_iB= >0

Такое изменение целевой функции трансформирует данную задачу из линейной в целочисленную линейную за счет появления бинарных переменных yB_{i B}

Следует заметить, что, если снять второе ограничение, т.е. считать, что объем производства на каждом из предприятий ничем не ограничен, при xB_iB >CB_iB может оказаться, что необходимо расширение существующего производства или даже строительства нового. Пункты предполагаемого строительства новых предприятий должны вводиться в рассмотрение после всестороннего анализа конкурентоспособности и перспективности используемой технологии производства, энергетических соображений, демографической ситуации в регионе, а также динамики спроса на продукцию.

Следовательно, при xB_iB >CB_{i B} требуются дополнительные капитальные вложения и задача будет заключаться в том, чтобы минимизировать затраты на производство и транспортировку изделий плюс дополнительные капиталовложения, используемые для модернизации существующих и строительства новых. предприятий.

Величина капитальных вложений для i- го пункта производства при xB_iB >CB_{i B}равна (xB_iB - CB_iB)kB_{i B}где kB_{i B}- удельные капиловложения, т.е. капитальные вложения, приходящиеся на одно изделие в i – м пункте расширения действующего или строительства нового предприятия.

Величина kB_iB – зависит от размеров строительства и может быть выражена в следующем виде:

kB_iB =

где

B_{i B}– часть общей суммы капитальных вложений, которая не зависит ( или мало зависит ) от производственной мощности строящегося предприятия. (здания общезаводского характера, оборудование вспомогательных цехов и др.).

B_{i B}– величина капитальных вложений, пропорциональных увеличению производственной мощности строящегося (реконструированного ) предприятия. (xB_iB-CB_iB).

Для тех пунктов производства, в которых результат решения даст равенство (xB_iB = CB_iB) капитальных вложений не требуется, в то время как в пунктах, где ( xB_iB < CB_iB) высвободятся имеющиеся производственные мощности. таким образом, общая сумма дополнительных капитальных вложений (K) составит

K =

Бинарная переменная YB_iB при этом принимает следующие два значения:

YB_iB = 0 если (xB_iB – CB_iB)<=0

YB_iB =1 если (xB_iB – CB_iB) > 0

Обычно величина дополнительных капитальных вложений ограничивается некоторым лимитом

K <= KP^max

С учетом потребности в дополнительных капитальных вложениях целевая функция задачи размещения и концентрации может быть записана в следующем виде:

+K

где  - рыночная депозитная процентная ставка.

Входящее в это выражение К – при этом имеет смысл дополнительных затрат, связанных с инвестициями. Иными словами, это ущерб из-за неполучения компанией дохода, который мог бы быть получен при помещении депозита К в банк под процент , определяемый существующей на финансовом рынке депозитной процентной ставкой.

Ограничения, накладываемые на переменные целевой функции, при этом сохраняются.

1. Условие требования удовлетворения спроса, существующего в j – м пункте потребления. В соответствии с ним суммарное количество продукции, привозимое из всех пунктов производства в j-й пункт потребления, должно соответствовать спросу в этом пункте.

7. Ограничение, выражающее ограниченность возможностей производства в каждом из пунктов производства. В соответствии с ним объем производимой в i-ом пункте производства продукции не должен превышать производственной мощности данного предприятия

3. Ограничение, требующее равенства объема продукции в каждом из пунктов производства сумме перевозок из этого пункта всем потребителям.

xB_iB =

8. Условие неотрицательности искомых переменных задачи.

xB_ijB >= 0

При этом выполняется соотношение:

xB_jB = говорящее о том, что суммарный объем поставок, полученных в каждом из пунктов потребления должен быть равен сумме поставок, отосланных из всех пунктов производства.

При нескольких (p) видах выпускаемой продукции задача оптимального размещения и концентрации формулируется аналогично, с той разницей, что в целевой функции и ограничениях добавляется параметр вида изделия и дополнительный знак суммирования.

Итак, нужно найти значения

xB_{ijk B}( i = 1…m, j = 1…n, k = 1…p ), минимизирующие целевую функцию

При ограничениях:

1. Условие требования удовлетворения спроса, существующего в j – м пункте потребления. В соответствии с ним суммарное количество продукции, привозимое из всех пунктов производства в j-й пункт потребления, должно соответствовать спросу в этом пункте.

2. Ограничение, выражающее ограниченность возможностей производства в каждом из пунктов производства. В соответствии с ним объем производимой в i-ом пункте производства продукции не должен превышать производственной мощности данного предприятия

3. Ограничение, требующее равенства объема продукции в каждом из пунктов производства сумме перевозок из этого пункта всем потребителям.

xB_ikB =

4. Условие неотрицательности искомых переменных задачи.

xB_ijkB >= 0

При этом выполняется соотношение :

xB_jB = говорящее о том, что суммарный объем поставок, полученных в каждом из пунктов потребления должен быть равен сумме поставок, отосланных из всех пунктов производства.

5. yB_jkB = 0, если xB_ikB = =0

6. yB_jkB = 1, если xB_ikB = > 0

7. YB_ikB=0, если (xB_ikB-CB_ikB) <=0

8. YB_ikB=1, если (xB_ikB-CB_ikB) > 0

При производстве на одном предприятии одновременно нескольких видов изделий себестоимость изготовления одного изделия любого вида fB_kB может зависеть от количества выпускаемых изделий всех видов, т.е.

fB_ijkB = (xB_i1B, xB_i2B, xB_i3B,…,xB_ipB)

Если учесть эту зависимость, то мы получим задачу нелинейного программирования, решение которой может быть очень сложным.