2.5. Производные и дифференциалы высших порядков.

1. Производные высших порядков.

Производной второго порядка, или просто второй производной, заданной функции y = f (x) называется производная от ее производной y^/ = f^/ (x). Для обозначения второй производной пользуются символом у^//, или f^// (x). Аналогично, производной третьего порядка, или третьей производной данной функции, называется производная от ее второй производной. Третья производная обозначается у^///, или f^/// (x). Вообще производной n-го порядка, или n-й производной от функции, называется производная от ее (n-1)-й производной. Для производной n-го порядка принято обозначение у⁽ⁿ⁾ или f⁽ⁿ⁾ (x). В соответствии с этим производная четвертого порядка обозначается y⁽⁴⁾ или f⁽⁴⁾ (x), производная пятого порядка – y⁽⁵⁾ или f⁽⁵⁾ (x) и т. д. (для производных первых трех порядков пользуются теми обозначениями, которые были даны вначале).

Из определения производных высших порядков следует, что для получения производной n-го порядка надо предварительно найти все предшествующие производные до (n-1)-й включительно. Например, для нахождения четвертой производной надо сначала вычислить первую производную, затем вторую, наконец, третью и только после этого можно приступить к решению поставленной задачи.

В отдельных исключительных случаях удается найти общую формулу для производной n-го порядка, и тогда отпадает необходимость в вычислении всех предшествующих производных. Ниже будут приведены примеры на нахождение производных высших порядков как в тех случаях, когда необходимо вычислять все производные более низкого порядка, так и в случаях, когда удается подменить закон, по которому составляется общая формула для производной n-го порядка.

При отыскании производной n-го порядка от произведения двух функций u и v целесообразно применять формулу Лейбница:

(1)

Коэффициенты в этой формуле те же, что и в разложении бинома Ньютона.

При рассмотрении первой производной изучались вопросы ее геометрического и механического истолкования. Роль второй производной при построении графика функции y = f (x) подробно выясняется в теме № 3. Что касается механического смысла второй производной, то следует отметить, что если первая производная истолковывается как скорость некоторого процесса, то вторая производная характеризует ускорение того же процесса.

Обозначим, например, через S расстояние от точки, движущейся по прямой, до начала отсчета О (расположенного на той же прямой). Очевидно, величина S является функцией времени t, т. е. S = f (t). Скорость движения точки v равна первой производной расстояния S по времени ,т. е. v = dS / dt = f^/ (t), а ускорение а – второй производной, т. е. а = d² S / dt² = f^// (t).

2. Дифференциалы высших порядков.

Дифференциал dy функции y = f (x) является функцией от х: dy = f^/ (x) dx, или dy = y^/ dx.

Дифференциал от него d (dy) = d²y называется дифференциалом второго порядка. При вычислении d²y приходится дифференцировать dy, т. е. y^/ dx. В процессе этого дифференцирования надо учитывать, что dx = ∆х не зависит от х и, следовательно, при дифференцировании по х рассматривается как постоянная. Таким образом, имеем:

d²y = d (dy) = d (y^/ dx) = d (y^/) dx = y^// dxdx = y^// (dx)².

Выражение (dx)² для краткости принято записывать как dx², и тогда окончательно

d² y = y^// dx².

Аналогично d (d² y) = d³ y называется дифференциалом третьего порядка и вообще d (d^n-1 y) = dⁿ y называется дифференциалом n-го порядка. Дифференциал n-го порядка равен произведению производной n-го порядка на n-ю степень дифференциала аргумента (dx)ⁿ = dxⁿ:

dⁿ y = y⁽ⁿ⁾· dxⁿ.

Например, d³ y = y^///· dx³.

Примеры решения задач.

35. y = tg x. Найти у^//.

Находим первую производную у^/ = 1 / cos² x. Вторая производная, по определению, равна производной от первой производной. Следовательно,

36. у = (х + 1)⁵, найти у^///.

Находим последовательно первую, вторую и третью производные: у^/ = 5 (х + 1)⁴, у^// = 20 (х + 1)³, у^/// = 60 (х + 1)².

37. у = а^х, найти производную n-го порядка.

Находим у^/, у^//, у^///: у^/ = а^х ln a, у^// = а^х (ln a)², у^/// = а^х (ln a)³.

Закон образования последовательных производных определился: каждая последующая получается из предыдущей умножением на ln а. Выражение для n-й производной будет:

у⁽ⁿ⁾ = а^х (ln a)ⁿ.

Теперь, при необходимости определить какую-либо производную от а^х нет надобности вычислять все предшествующие, а можно воспользоваться полученной формулой. Например, у⁽¹⁰⁾ = а^х (ln a)¹⁰. Заметим, что если у = е^х, то у⁽ⁿ⁾ = е^х.

38. у = sin x, найти производную n-го порядка.

Определяем последовательно у^/, у^//, у^///, у⁽ⁿ⁾:

у^/ = cos x, у^// = – sin x, у^/// = – cos x, у⁽ⁿ⁾ = sin x.

Теперь понятно, что продолжать процесс последовательного вычисления производных нет надобности: у⁽⁵⁾ будет равно у^/, у⁽⁶⁾ = у^// и т. д.

Очевидно, для нахождения производной какого-либо порядка от sin x достаточно поделить порядок производной на четыре, найти остаток при этом делении и отыскать производную, порядок которой равен этому остатку (если остаток равен нулю – производная равна самой функции sin x).

Например, у⁽²⁷⁾ = у^/// = – cos x, у⁽¹⁰⁾ = у^// = – sin x, у⁽¹⁶⁾ = у = sin x.

Мы установили закон, по которому строятся последовательные от sinx. Но можно дать и общую формулу для n –й производной от sin x. Действительно:

39. у = х³ е^х, найти у⁽ⁿ⁾.

Находим последовательные производные от каждого из сомножителей отдельно:

(х³)^/ = 3х², (х³)^// = 6х, (х³)^/// = 6, (х³)⁽⁴⁾ = 0; (е^х)^/ = (е^х)^// = (е^х)^/// = (е^х)⁽⁴⁾ = е^х.

Запишем формулу Лейбница (1) для случая n = 4:

Применяем эту формулу для нашего случая, полагая u = x³, v = e^x, и получаем:

у⁽⁴⁾ = (х³ е^х)⁽⁴⁾ = 4 · 6 е^х + 6 · 6х · е^х + 4 · 3х² е^х + х³е^х, или у⁽⁴⁾ = (х³ +12х² +36х +24)е^х.