3. Механический смысл производной.

З начение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке по сравнению со скоростью возрастания независимой переменной. Учитывая это замечание, можно использовать понятие производной при определении скорости различных процессов. В качестве простейшего примера рассматриваем движение точки М по прямой, причем через S будем обозначать расстояние от начала отсчета О до движущейся точки. Каждому моменту времени t соответствует определенное значение S, так что величина S является функцией времени: S = f (t).

Производная от S по t, т. е. S^/ = f^/ (t), есть скорость движения точки по прямой, так что v = S^/. Ниже приводятся самые простые примеры, иллюстрирующие сказанное.

Примеры решения задач.

29. На кривой у = х² – 2х + 5 найти такую точку, в которой ордината возрастает в четыре раза быстрее, чем, абсцисса.

Находим производную от данной функции: у^/ = 2х – 2. Т. к. производная характеризует скорость возрастания ординаты (функции) по сравнению с возрастанием абсциссы (аргумента), то условие 2х – 2 = 4 определит абсциссу х = 3 искомой точки, а ордината находится из уравнения кривой у = х² – 2х + 5 заменой х на 3: у = 8. Итак, искомая точка (3; 8).

30. Точка движется по прямой, причем расстояние S точки от начала отсчета (измеряемое в метрах) определяется по формуле S = t² + 2t + 3, где t – время (измеряемое в секундах). Определить скорость движения точки в конце пятой секунды.

Скорость движения точки v определяется как производная от пути S по времени t. В данном случае v = 2t + 2. Полученное выражение дает общую формулу для скорости движения точки. Чтобы определить скорость движения точки в конце пятой секунды, следует в выражение для v подставить 5 вместо t. Получаем v₅ = 12 м/сек.

2.4. Дифференциалы функций.

1. Вычисление дифференциалов.

Дифференциалом dy функции y = f (x) называется произведение производной этой функции на приращение независимого переменного ∆х, т. е. dy = f^/ (x) · ∆х.

Дифференциал независимой переменной dx, по определению, равен приращению независимой переменной, поэтому

dy = f^/ (x) dx, (1)

т. е. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (1) вытекает представление производной в виде частного двух дифференциалов:

f^/ (x) = dy / dx.

Этим обозначением производной постоянно пользуются наряду с обозначениями у^/ и f^/ (x).

Формула (1) показывает, что для нахождения дифференциала функции достаточно найти производную этой функции и полученное выражение умножить на dx. Таким образом, техника вычисления дифференциала может быть сведена к технике отыскания производной.

Операция нахождения дифференциала, так же как операция нахождения производной, называется дифференцированием. Следует, однако, отметить, что дифференциалы можно вычислять и непосредственно, не находя предварительно производной, а пользуясь таблицей формул и правил, подобных тем, которые давались для производной.

В самом деле, применяя формулу (1), нетрудно составить следующую таблицу дифференциалов элементарных функций:

d (x^α) = α x^α^–1dx (2) d (cos x) = – sin x dx (8)

(α – любое действительное число)

(3) (9)