2. Дифференцирование сложных функций, состоящих из нескольких звеньев.

Нередко приходится иметь дело с дифференцированием функций более сложного вида, чем те, которые были рассмотрены выше. Положим, например, что у = f (u), где u – функция переменной v: u = φ (v), причем v в свою очередь представляет собой функцию независимого переменного х: v = ψ (х). При отыскании производной от у по х в таком, или еще более сложном, случае по-прежнему пользуются формулами, приведенными в п. 1, а также правилами дифференцирования, изложенными выше.

На ряде приведенных далее примеров показывается, как следует применять формулы и правила дифференцирования при решении различных (более сложных) задач на нахождение производных.

13. Найти у^/, если у =ln arctg .

Принимаем arctg за вспомогательную функцию и пользуемся формулой (3): .

При вычислении производной от за вспомогательную функцию принимаем и применяем формулу (12):

.

Подставляя найденное значение в выражение для у^/, окончательно получаем:

При некотором навыке запись при вычислении производной может быть более компактной, как это будет показано на следующем примере.

14. Найти у^/, если у = (arcsin )⁴.

В данном случае за вспомогательную функцию принимаем сначала arcsin и применяем формулу (1); затем за вспомогательную функцию принимаем и пользуемся формулой (10):

15. Найти у^/, если .

Принимаем за вспомогательную функцию сначала выражение и пользуемся формулой дифференцирования показательной функции [формула (4)]; далее за вспомогательную функцию принимается трехчлен х² + 3х +4 и применяется формула дифференцирования (2). Последовательно получаем:

.

При достаточной практике в решении задач на нахождение производной промежуточное звено может быть опущено и ответ записывается сразу, как это показывается на следующем примере.

16. Найти у^/, если у = ln sin 5x.

17. Найти у^/, если у = sin³ (x² + 3x + 1).

Используем формулы (1) и (6) и правило дифференцирования многочлена:

у^/ = 3 sin² (x² + 3x + 1) · cos (x² + 3x + 1) · (2x + 3).

18. Найти у^/, если .

При вычислении производных в предыдущих задачах мы имеем дело с тремя звеньями последовательно проводимых операций. Например, решая 15, сначала находим производную от показательной функции, затем производную от квадратного корня и, наконец, производную от многочлена. В более сложных случаях число звеньев может быть и большим, но методика нахождения производной остается прежней.

В рассматриваемом примере сначала необходимо применить формулу дифференцирования показательной функции [формула (4)], причем за вспомогательную функцию и принимается tg⁴ (x² + 5x). Далее применяем формулу дифференцирования тангенса (за вспомогательную функцию при этом принимается x² + 5x). И, наконец, находим производную от многочлена. При подробной записи будем иметь:

При достаточном же навыке следует писать сразу:

19. Найти у^/, если .

3. Логарифмическое дифференцирование.

Иногда бывает целесообразно, прежде чем находить производную от заданного выражения, предварительно преобразовать его с таким расчетом, чтобы процесс дифференцирования упрощался. В частности, если приходится вычислять производную от логарифма произведения, дроби, степени или корня, следует провести предварительное преобразование, пользуясь обычными правилами логарифмирования (известными из школьного курса).

Во многих случаях оказывается выгодным, прежде чем дифференцировать заданную функцию, взять ее логарифм, определить, затем производную от этого логарифма и по производной от логарифма отыскать производную от заданной функции. Такой прием называется способом логарифмического дифференцирования.

Метод логарифмического дифференцирования позволяет легко найти производную от сложной функции вида y = u^v, где u и v – функции аргумента х.

Действительно, логарифмируя обе части исходного равенства, получаем: ln y = v ln u. Дифференцируя последнее соотношение, имеем:

Умножая обе части равенства на у и заменяя затем у через u^v, получаем окончательно после очевидных преобразований:

(14)

При отыскании производной от функции вида у = u^v следует пользоваться методом логарифмического дифференцирования или применять формулу (14), собственно и выведенную этим методом.

Примеры решения задач.

20. Найти у^/, если .

Замечаем, что . Дифференцируя, получаем,

21. Найти у^/, если .

Замечаем, что

Дифференцируя, находим: у^/ = cos x – sin x.

22. Найти у^/, если

Предварительное преобразование:

Далее находим:

23. Найти у^/, если .

Логарифмируем обе части исходного равенства: ln y = 3 lnx + 4 ln (x² + 1) – ½ ln x (x – 1) = 5/2 ln x – ½ ln (x – 1) + 4 ln (x² + 1).

Дифференцируя полученное соотношение, получим:

Умножая теперь обе части последнего равенства на у и заменяя затем у через получаем:

24. Найти у^/, если у = .

Применим метод логарифмического дифференцирования: