1.3. Метод логарифмического дифференцирования. Дифференцирование логарифмической функции.

Во многих случаях оказывается целесообразным прежде чем дифференцировать заданную функцию, взять ее логарифм, определить затем производную от этого логарифма, а затем найти производную заданной функции. Такой прием называется методом логарифмического дифференцирования. Этот метод позволяет легко найти производную от сложной функции вида , где и есть функции зависящие от .

Пусть дана функция .

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Пример:

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Дифференцирование логарифмической функции рассмотрим на примере.

Пусть дана функция . Выполним некоторые преобразования, пользуясь общими правилами логарифмирования и свойствами логарифмов:

Получим .

§ 2. Интегральное исчисление .

2.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

Операция, обратная дифференцированию называется интегрированием, а её результат – первообразной функцией.

Определение: Функция называется первообразной для функции если для всех из области определения функции .

Для данной функции существует множество первообразных , где С – произвольная постоянная.

Определение: Совокупность первообразных для данной функции называется неопределенным интегралом. Обозначается: .

При этом называется подынтегральной функцией. Т. об., .

Слово «неопределенный» подчеркивает, что существует множество функций, первообразных для данной функции . Т. об., неопределенный интеграл представляет собой функцию.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет на плоскости семейство кривых, уравнения которых отличаются друг от друга на постоянную величину С.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций

2.2. Таблица простейших неопределенных интегралов.

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7. 14.

2.3. Основные методы интегрирования.

Для вычисления интеграла мы должны, если это возможно, пользуясь теми или иными способами привести его к табличному интегралу и таким образом найти искомый результат.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся методы интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование – нахождение интеграла функции, основанное на прямом применении свойств неопределенных интегралов и формул интегрирования.

Пример 1:

.

Проверка:

2. Метод подстановки – это переход от данной переменной интегрирования к другой переменной для того, чтобы упростить подынтегральное выражение и привести к одному из табличных интегралов. Выбор подстановки в каждом определенном случае зависит от вида подынтегральной функции. Нельзя указать общее правило для её выбора.

Пример 2: .

3. Метод интегрирования по частям – его получают на основании формулы дифференцирования произведения.

.

В качестве функции обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве – оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая , из которой можно определить путем интегрирования. В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному метод интегрирования по частям применяется несколько раз.

Пример 3:

.