Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса»

(ГОУ ВПО «ЮРГУЭС»)

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебно-методическое пособие

для студентов очной и заочной форм обучения

всех специальностей

ШАХТЫ

Издательство ЮРГУЭС

2008

УДК 512.64(07)

ББК 22.143я73

Л559

Составители:

к.ф.-м.н., доцент кафедры «Математика»

А.Б. Михайлов

к.т.н., доцент кафедры «Математика»

Г.Р. Саакян

к.т.н., доцент кафедры «Математика»

И.Д. Михайлова

к.с.н., доцент кафедры «Математика»

Ю.А. Хоменко

Рецензенты:

к.ф.-м.н., директор Информационно-методического центра по аттестации образовательных организаций Министерства образования РФ

И.М. Мальцев

к.ф.-м.н., доцент кафедры «Математика»

В.И. Филиппенко

Рекомендовано к внутривузовскому изданию

редакционно-издательским советом ЮРГУЭС

Л559 Линейная алгебра : учебно-методическое пособие / составители А.Б. Михайлов, Г.Р. Саакян, И.Д. Михайлова, Ю.А. Хоменко. – Шахты : изд-во ЮРГУЭС, 2008. – 27 с.

Учебно-методическое пособие предназначено для изучения раздела высшей математики «Линейная алгебра».

Пособие содержит в большом объеме теоретический материал. Подробно разобраны решения практических заданий, приведены задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.

Пособие рекомендовано для студентов очной и заочной форм обучения, в том числе с использованием дистанционных технологий.

УДК 512.64(07)

ББК 22.143я73

© Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, 2008

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

1. Матрицы 5

2. Определители 7

3. Понятие алгебраического дополнения 8

4. Обратная матрица 9

5. Ранг матрицы 11

6. Два способа вычисления ранга матрицы 12

7. Системы линейных алгебраических уравнений 15

8. Задачи для самостоятельного решения 23

9. Ответы к задачам для самостоятельного решения 25

Библиографический список 26

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов 1-го курса всех специальностей очной и заочной форм обучения и, в первую очередь, для тех, кто самостоятельно изучает основы линейной алгебры и желает приобрести необходимые навыки в решении задач.

В начале каждого раздела помещены определения, теоремы, формулы и другие краткие теоретические сведения и методические указания, необходимые для решения последующих задач. Затем приводятся решения типичных задач с подробными пояснениями.

Пособие содержит необходимый материал и рекомендации для самостоятельной подготовки к контролю (экзамены, контрольные точки, аудиторные контрольные работы) по разделу «Линейная алгебра».

В конце пособия содержится достаточное количество методически подобранных задач для самостоятельного решения с ответами к ним, а также список рекомендуемой и используемой литературы.

1. Матрицы

Прямоугольная таблица чисел

,

содержащая строк и столбцов, называется матрицей размеров . Числа называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент. Часто вместо подробной записи употребляют сокращенную: или даже . Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной порядка . Диагональ квадратной матрицы называется главной диагональю, а диагональ – побочной диагональю.

Среди квадратных матриц одного и того же порядка (например, порядка , т.е. размеров ) важную роль играет матрица вида

,

которую называют единичной матрицей.

Пример 1. Матрица

имеет размеры 3×4, например, элементы , .

Матрица

является квадратной порядка 3. Элементы 5, 4, –3 образуют главную диагональ, а элементы 0, 4, –2 матрицы – побочную диагональ.

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число: .

Сложение матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, т.е. матрицы одинаковых размеров. Суммой матриц и называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и , т.е. для любых индексов , .

Умножение матриц. Произведение матрицы на матрицу (обозначается ) определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получим матрицу , у которой столько же строк, сколько их в матрице , и столько же столбцов, сколько их в матрице . Для удобства запоминания запишем это кратко:

Если , и , то элементы определяются следующим образом:

,

где .

Это правило можно сформулировать и словесно: элемент , стоящий на пересечении -й строки и -го столбца матрицы , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы . Другими словами, элемент является результатом скалярного произведения -й вектор-строки и -го вектор-столбца.

Пример 2. Выполнить действия:

.

Пример 3. Перемножить матрицы:

и .

Матрица имеет размерность 2×3, матрица имеет размерность 3×4, значит, матрицы можно перемножить. Размерность матрицы произведения С – 2×4. Чтобы получить первый элемент матрицы С, перемножим элементы первой строки матрицы А на соответствующие элементы первого столбца матрицы В. Элементы , , получим умножением элементов первой строки матрицы А на соответствующие элементы второго, третьего, четвертого столбцов матрицы В.

2 3 –1 2 3 –1 2 3 –1 2 3 –1

–5 0 3 3 –2 2 1 –1 2 0 3 –4

–10+0– 3= –13 6 – 6 – 2 = –2 2 – 3 – 2= –3 0 + 9 + 4=13.

Элементы получим умножением элементов второй строки матрицы А на соответствующие элементы первого, второго, третьего, четвертого столбцов матрицы В.

0 –4 1 0 –4 1 0 – 4 1 0 – 4 1

–5 0 3 3 –2 2 1 – 1 2 0 3 –4

0 – 0 + 3=3 0 + 8 + 2=10 0 + 4 + 2 =6 0 – 12 – 4= –16

Итак, матрица произведения С имеет вид:

.