Задача №1.

Даны коэффициенты прямых затрат aij и конечный продукт Yi для двухотраслевой экономической системы. Данные приведены в таблице (используя личные числовые данные: m=4 и n=4) .

1. Определить коэффициенты полных затрат, вектор валового выпуска, межотраслевые поставки продукции;

2. Проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат;

3. Составить и заполнить таблицу межотраслевого баланса.

4. Найти матрицу косвенных затрат.

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат aij		Конечный продукт Yi
	1	2
1	0,5	0,1	1000
2	0,3	0,2	700

Преобразуем табличные данные в матрицы:

1. Матрица коэффициентов прямых затрат А.

   А=	0,5	0,1
   	0,3	0,2

2. Вектор конечной продукции Y.

Y=	1000
	700

Решение:

1. Определить коэффициенты полных затрат.

Необходимо найти матрицу полных затрат В=(E-А)^-1

1. Находим матрицу К=(Е-А)

Е - А =	1	0	-	0,5	0,1		0,500	-0,100
	0	1		0,3	0,2	=	-0,300	0,800

2. Для нахождения матрицы К^-1=(Е-А)^-1, необходимо вычислить определитель матрицы.

|К| =	0,500	-0,100	=0,370
	-0,300	0,800

Так как |K|≠0, то существует матрица К^-1 = В обратная заданной матрице К.

Каждому элементу матрицы К находим алгебраическое дополнение

К₁₁ = (-1)^⁽¹⁺¹⁾* 0,800 = 0,800

К₁₂ = (-1)^⁽¹⁺²⁾* (-0,300) = 0,300

К₂₁ = (-1)^⁽²⁺¹⁾* (-0,100) = 0,100

К₂₂ = (-1)^⁽²⁺²⁾* 0,500 = 0,500

Элементы обратной матрицы получаются путем деления алгебраических дополнений на определитель

В= K-1 =	0,800	0,100	: 0,370 =	2,162	0,270	Коэффициенты полных затрат
	0,300	0,500		0,811	1,351

2. Определить вектор валового выпуска X.

X = B*Y

В – матрица полных затрат;

Y – вектор конечной продукции.

	2,162	0,270		1000		2351,351	Х1
X =	0,811	1,351	*	700	=	1756,757	Х2

3. Определить межотраслевые поставки продукции.

X_ij = α_ij * x_j

α_ij – коэффициенты прямых затрат

x_j - валовые объемы отраслей.

X₁₁ = a₁₁ * x₁ = 0,5*2351,351= 1175,676 X₂₁ = a₂₁ * x₁ = 0,3 *2351,351= 705,405

X₁₂ = a₁₂ * x₂ = 0,1*1756,757= 175,676 X₂₂ = a₂₂ * x₂ = 0,2*1756,757= 351,351

4. Проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат

X ≥ A*X

	0,5	0,1		2351,351		1351,351
А*х =	0,3	0,2	*	1756,757	=	1056,757

2351,351	>	1351,351
1756,757		1056,757

Каждый элемент матрицы X, больше соответствующего элемента матрицы А*Х.

Условие выполнено, следовательно матрица продуктивна.

5. Составим и заполним таблицу межотраслевого баланса

потребляющие отрасли производящие отрасли	1	2	Конечная продукция Yi	Валовая продукция Хi
1	1175,676	175,676	1000,000	2351,351
2	705,405	351,351	700,000	1756,757
Zj (чистая продукция)	470,270	1229,730	1700,000
Xj (валовая продукция)	2351,351	1756,757		4108,108

Zj= Хi- ∑Хij

Z₁= 2351,351- (1175,676+705,405) =470,270

Z₂ = 1756,757 - (175,676 + 351,351)=1229,730

∑ Zj= ∑ Yj =1700 - первое балансовое отношение

∑ Xj= ∑ Xi = 4108,108 - второе балансовое отношение