§ 3.4. Поняття векторного простору, базису та координат вектора
Означення 3.4.1. Множину геометричних векторів будемо називати векторним простором, якщо лінійні операції над будь-якими векторами цієї множини, тобто додавання двох векторів і множення вектора на будь-яке число, дають вектори тієї ж множини.
Згідно з цим означенням множина всіх векторів, які паралельні деякій прямій, є векторним простором. Множина всіх векторів, які паралельні деякій площині, також є векторним простором.
Означення 3.4.2. Базисом (базою) векторного простору називається така упорядкована сукупність векторів цього простору, яка задовольняє умовам:
ця сукупність векторів є лінійно незалежною;
будь-який вектор простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації векторів зазначеної упорядкованої сукупності.
Примітка. На подальшому при поширенні поняття векторного простору буде показано, що будь-які дві різні бази векторного простору мають однакову кількість векторів. Внаслідок чого є коректним наступне означення.
Означення 3.4.3. Число векторів довільного базису простору називається вимірністю даного векторного простору.
Вимірність векторного простору, що містить всі можливі геометричні вектори, дорівнює трьом. За базис у ньому можна взяти упорядковану сукупність будь-яких трьох некомпланарних векторів. Дійсно, згідно з наслідком з теореми 3.3.3 ці вектори лінійно незалежні. А за теоремами 3.3.1 та 3.3.4 будь-який інший вектор простору може бути надано у вигляді лінійної комбінації векторів базису. Множина векторів, які паралельні деякій площині, є двовимірним векторним простором. Надалі будемо розглядати тільки тривимірний векторний простір.
Лема
3.4.1.
Нехай вектори
утворюють базис тривимірного векторного
простору, тоді будь-який вектор
простору є лінійною комбінацією базисних
векторів:
.
За
теоремою 3.3.4 чотири вектори
– лінійно залежні, тобто
і один з коефіцієнтів у цій рівності
відмінний від нуля. Покажемо, що це саме
коефіцієнт
при векторі
.
Припустимо
супротивне. Нехай
.
Тоді маємо
або
,
причому один з коефіцієнтів у останній
рівності – відмінний від нуля. Це
суперечить факту лінійної незалежності
базисних векторів. Таким чином,
,
тоді
.
Означення
3.4.4. Числа
у розкладі
вектора
за базисом
називаються координатами вектора
у цьому базисі. При цьому коефіцієнт
при першому базисному векторі
називається першою координатою, а
коефіцієнти
при векторах
– другою та третьою координатами вектора
відповідно.
Умовимося
вектор
,
що має у базисі
координати
,
позначати так:
.
Теорема 3.4.1. Координати вектора у заданому базисі єдині.
Припустимо
супротивне, що вектор
має два різні набори координат у деякому
базисі
:
і
.
Тоді
.
Звідки приходимо до рівності
,
у який принаймні один з коефіцієнтів при векторах відмінний від нуля. Але це означає, що базисні вектори лінійно залежні, що суперечить означенню базиса. Отже, припущення про те, що вектор у базисі може мати різні координати, є невірним.
Теорема 3.4.2. Будь-яка координата суми скінченного числа векторів дорівнює сумі відповідних координат доданків. При множенні вектора на число, його координати множаться на це число.
Нехай
– базис тривимірного векторного
простору, а
,
,
…,
– деякі вектори цього простору. За
означенням координат вектору, маємо
.
Тоді
.
За властивостями лінійних операцій над векторами можна переставляти місцями доданки у сумі та виносити за дужки спільний множник із групи доданків. У силу цього
.
Звідки виходить, що
,
тобто будь-яка координата суми векторів дорівнює сумі відповідних координат доданків.
Аналогічним
образом доводиться, що
.